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Carlo Severini 



[Memoria XI.] 



ove s indica una quantità positiva, non nulla, minore di V2 ^ , si deduce senz'altro, per ogni 

 ^ l (Xo) — 2 £ : 



I I < I Kin i.Ye)) I + (^~^* - 5X2^ I {f„ (A-o) ) I ) (« = I, 2, . . . , ), 



ed a causa delle (4) : 



I /„ (.r) I ^ M + — 3) (2.4 _ V^) (« = 1,2, . . . , co ) , 



il che ci dice che la successione (1) è, nelle poste ipotesi, limitata per tutti i punti del 

 cerchio (Xc, (x^ — 2 s) di centro .Vo e raggio uguale a (.vo) — 2 £. 



Preso ora un punto x\ di V interno a tale cerchio, ripetendo il ragionamento dianzi 

 fatto, si dimostra che la medesima successione è limitata nel cerchio (xi, 3 (x\) — 2 s) , 

 e così continuando, poiché i cerchi, che via via si considerano , hanno tutti raggio non 

 minore di — 2 e perciò con un numero finito di essi si viene a ricoprire tutta 1' area 

 r', risulta in ultimo, che la (1) è in tale area limitata. 



A questa medesima conclusione si può evidentemente arrivare ', se , invece della (5), 

 si suppone verificata, per tutti i punti di F, 1' altra condizione : 



R (fn (X)) (n = 1,2, . . . , co) 



con 



.1 5^0: 

 ci si riconduce infatti al caso precedente, considerando la successione : 



— /„ (.V) i n =: 1,2, . . . , oc ) 



che è limitata no secondo che tale è la (1). 



Per ultimo è ovvio che si può anche partire dall' una dall' altra delle seguenti con- 

 dizioni : 



/ (fn (X)) ^ A (n — 1,2, . . . , co) , 



con : 



.4^0; - 



ovvero ; 



] (fn (X) 1 ^ fi ()i = 1,2, . . . , 00 ) , 



con: 



5^0, 



nel qual caso si considererebbe la successione : 



/ /„ (x) \n — 1,2, . . . , co ) 



che per il nostro scopo può ben essere sostituita alla (1). 



Dopo ciò siamo in grado di enunciare il seguente teorema: 



