Sulle successioni infinite di fiinsioni annlitiche 



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La successione 'mfìnita di funzioni analitiche , veicolari, nell'area V : 



(l) j\ (.X), ti (A), . . . , /„ (.V), . . . . 



sia in un punto x.., interno a l\ limitata, ed in tutti i punti dell' area medesima , 

 sia soddisfatta , per ogni n, loia delle seguenti disuguaglianze : 



R ih, (X) ) ^ A , R (l'„ (X) )^ B . J (f„i.\) ) ^ A, ] (/„ (X) I ^ B (n — 1,2, . . . , co ; 



ove A e B sono due costanti , cl/e si possono sempre supporre, la prima -— o, la 

 seconda < 0. 



Sotto tali condizioni la successione (l) è limitata in ogni area V interna a V. 



H. Il medesimo risultato si ottiene evidentemente, se la ( 1 ) può essere decomposta in 

 un numero finito di successioni, soddisfacenti alle dette ipotesi ; così ad es. se, la < 1) essen- 

 do in un punto .\\^ interno a F limitata, inlìnite delle (1!) (ovvero delle (3) ) costituiscono 

 una successione limitata superiormente, mentre le rimanenti costituiscono a loi- volta una 

 successione limitata inferiormente, l'n caso assai notevole, in cui quest' ultima condizione 

 viene soddisfatta, si ha, ponendo che le (_') (ovvero le (3)) non possano assumere un 

 dato valore reale a, perchè allora o^ni ( f,, (.v) ), a causa della continuità , o non di- 

 venta mai minore di a, o si mantiene sempre maj^.^iore di a. Si può quindi dire : 



S> la successione : 



(I) A (-V) , h . . . , fa (X) ..... 



è in un punto Xd interno a V limitata , e se la parte reale (ovvero il coefficiente 

 della parte immaginaria) di ognuna di tali funzioni non può assumere un dato 

 valore reale a, la successione (ì) è in ogni area 1", interna a F, limitata. 



4. La condizione che le (2) (ciò che diremo per le (LM s' intenderà senz" altro d" ora 

 innanzi che si può analogamente ripetere per le (3) ) n<:)n assumano mai nell' area F il 

 valore a può essere tolta e sostituita con altra più ampia. 



Indichiam.o con G„ V insieme dei punti, interni a F , nei quali qualcuna delle (2) as- 

 sume il valore (/ : basterà supporre che V insieme (9,, sia riducibile, non contenga a\„ e 

 nemmeno abbia .v„ come punto limite. In tale ipotesi si potrà infatti, assegnato comunque 

 il campo r', interno a F, costruire un campo F", interno, a F, e contenente internamente 

 r', sul cui contorno 7" non cada nessun punto di G,, , e dell" insieme derivato G',, ; e si 

 potrà inoltre congiungere il punto .v„ con uno o più punti di (secondo che 7" è sem- 

 plice multiplo) mediante una o più linee k finite, continue, che godano della stessa pro- 

 prietà di 7". Per ogni punto di tali linee e di 7" , preso come centro, è allora possibile de- 

 scrivere un cerchio contenuto in F, nel quale nessuna delle (2) assume mai il valore a. 

 Il raggio massimo di questo cerchio è una funzione continua dei punti 7" e delle linee X, 

 e come tale ammette un minimo diverso da zero. Ne consegue che dette linee X e 7" si 

 possono racchiudere in un' area finita, connessa, in cui le (2) non assumono mai il valore 

 a, alla quale area il punto Xo risulta interno. Entro quest' area, e quindi su 7", sarà allora 



