6 



Carlo Severìni 



[Memoria XI.] 



limitata, per il teorfma del prec, la successione (1) ; che sia limitata nell'area V è do- 

 po ciò una facile conseguenza della foimola : 



I / f,i (t) , 



U, (A) — — / ^^i— ^ dt in — 1.2 , . . . , y:) 



ove / varia lungo il c(jntorno di F", ed .\- può rappresentale un punto qualsivoglia di P' 

 Possiamo dunque enunciare il seguente teorema : 

 Se in ^.ìn cessioue di fu iis/dii/ iiìidlilicìie, regolari , in V ; 



(I) /, (-V). /, (A) , /„ (.Vj, 



è ili ìtìi pillilo Xn iiileriio a V liìiiiiala, e se 1' insieme (1,, de/ pillili iiilenii a V in 

 cui la parte reale (ovvero il coefficiente della parte iiiiiiiagiiiaria) di qualcuna di 

 tali fiiiizioiii assillile il valore reale a, è riducibile, non contiene \<> e non ha Xo come 

 punto limite, la successione ({) è limitala in ogni area V interna a V. 



(Jsservasione : E ovvio che ove non si l ichieda di stabilire che la successione (1) 

 è limitata in ogni area V interna a F, ma sf)ltant<i che di questa pi-oprietà gode per una 

 determinata area F' così fatta, può t'ai'si a meno dell' ipotesi dianzi posta, relativa all' in- 

 sieme G,, , ammettendo che esista un campo F" ed un sistema di linee X. quali dianzi 

 abbiamo indicato. 



.5. Invece di considerare una quantità Hssa a, si pu(j , sotto certe condizioni , consi- 

 derare più generalmente una successione mlinita di quantità reali : 



(6) , a._> , , ((,, , 



Ammettiamo che si possano scegliere tali quantità in modo che la successione : 



(7) /" (^1 — «/i (" = 1^2 oc ) 



sia in un punto .ro interno a F limitata, ed in modo che l'insieme dei punti interni a F, ove 

 le (2) rispettivamente assumono i valori (ó) sia riducibile, non contenga xo e non abbia 

 Xi\ come punto limite. 



La successione (7) è allora, per il teorema del prec, limitata, quindi, composta di 

 funzioni egualmente continue, in ogni area F' interna a F. In F' saranno egualmente conti- 

 nue anche le ( 1) , e se si vuole che la successione di queste risulti ivi limitata, basterà 

 in più supporre che tale sia in un punto .v'„. Se infatti § è una quantità positiva, tale che 

 indicando con .r ed .v' due punti di F', soggetti alla condizione : 



-v' I ^ S , 



1 



(« — 1,2, . . . . , C») 



ove £ è una quantità positiva, prefissata ad arbitrio : se A rappresenta la massima distanza 

 di x\ dal contorno di F', ed m il massimo numero intero contenuto in sarà, per ogni 

 X di F': 



I /" (^'J — /« CO I ^ l"' + I) 5 in — 1,2. . . . . , oo^ 



ne consegua : 



I /„ (x) — fn (x') 



