Sulle successioni infinite di ftinzioni analitiche 



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donde : 



I /„ (.r) I ^ i/„ (.v'o) I + + I) s yn z= 1,2, 



che basta al nostro scopo. 



Ove in particolare le (6) fossero c(jmprese fra limiti finiti, basterebbe supporre la suc- 

 cessione (1) in a'o limitata, e l'insieme dianzi considerato riducibile, non contenente .r,, e 

 non avente Xo come punto limite. 



11 teorema che si raccoglie da quanto abbiamo ora detto è il seguente : 



Alle funsioni analitiche^ regolari in V : 



f, (.V) , t\ (X) fn (.V) , 



si possano associare le quantità reali : 



(6) "1 , "0 , , In 



siffatte che la successione : 



V7) In (-V) — a,i (Il = 1,2, , ce) 



riesca in un punto x„ interno a V limitata, e V insieme dei punti interni a F, 

 ove le parti reali delle (l) rispettivaiìiente assumono i valori (6), sia riducibile, 

 non contenga xo, e non abbia x,j come punto limite. 



Sotto queste condizioni le funzioni ( 1 ) risultano egualmente continue in ogni 

 area V interna a F, e la successione di tali funzioni è ivi anche limitata, se tede 

 si suppone in un punto. 



Alla medesimn conclusione si giunge, se invece della (7), si coìisidera la : 



fn{x) Ut,, {Il = r,2, . . . . , co) 



ed in corrispondenza 1' insieme dei punti interni a V, ove i coefficienti delle parti 

 immaginarie delle (1) rispettivamente assumono i valori (6). 



II. 



Successioni infinite di funzioni armoniche. 



6. Allo studio delle successioni infinite di funzioni analitiche si può ricondurre lo stu- 

 dio delle successioni infinite di funzioni armoniche, per le quali le considerazioni dianzi 

 svolte danno luogo a notevoli risultati. 



Assegnata una successione infinita di funzioni armoniche : 



(8j Uy (u, v) , Uo {u, V) , . . . . , U„ (u, V), 



continue esse e le derivate in un' area F, restano determinate, a meno di una costante 

 addittiva, le funzioni armoniche : 



(9) Vi {II, V), (^^ v), . . . . , Fn yu, V) 



