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Carlo Severini 



[Memoria XI. [ 



tali che ie funzioni della variabile complessa x=u^i v : 



(10) Wi, (x) — U„ (il, V) / V„ (u, V) in = 1,2 , 00 ) 



risultino analitiche, regolari in V. 



Applicando allora alle (10), ottenute con opportuna deteiminazione della suddetta co- 

 stante addittiva, i risultati dianzi stabiliti, e tenendo presente quanto abbiamo in principio 

 ricordato, noi otteniamo per le (8) altrettanti teoremi, dei quali enunceremo per brevità i 

 più importanti. 



In quanto la successione (8) può liuscire limitata abbiamo il seguente, che subito si 

 deduce da quello, a cui siamr» arri\ ati ne! 5. 

 A//e fuìis/ou/ arutojiiciie : 



(8) L'i (u, V) U., [u, v) , . . . . , U„ V) 



continue esse e le derivale iiell' area V, si possano associare le quantità reali: 



(6) «1 , 



siffatte che la successione : 



(11) U,i (u, i') — a,, (il z= 1,2, , ) 



riesca in un punto (U„ V'„) interno a V, limitata ; e /' insieme dei punti interni 

 a r, ove le (8) rispettivamente assumono i valori (6) sia riducibile, non contenga 

 (Uo Vo), e non abbia (Uo Vo) come punto limite. 



Sotto queste condisioni le funzioni (8) risultano egualmente continue in ogni 

 area V' interna a T, e la successione di tali funzioni è ivi anche limitata, se tale 

 si suppone in un punto. 



Basta nella determinazione delle (9), disporre della costante addittiva, in modo che la 

 successione di queste sia in (Uo, Vo) limitata, per ricondurci senz'altro al caso conside- 

 rato nel 5. 



Se di tale costante si dispone in modo che per U=^Uo, V=V„ la f9) ammetta in più 

 un limite determinato e finito, si ottiene quest' altro risultato. 



Nelle ipotesi del teorema precedente, ove inoltre la successione (8) ammetta un 

 limite determinato e finito nei punti di un insieme uniformemente denso sul con- 

 torno {finito) di una qualche area Y" contenuta in F e contenente (\]o, VJ, la suc- 

 cessione medesima converge in egual grado ad una funzione armonica in ogni 

 area V , interna a V. 



7. La condizione contenuta nel precedente teorema, che la successione (11) sia in un 

 punto (Uo, Vo) di r" limitata è in particolare soddisfatta, se è limitata la successione (6), come 

 punto (Uo, Vo) potendosi in tal caso assumere uno qualunque dei punti del contorno di F", 

 ove la (8) tende a limiti determinati e finiti ; se inoltre si ammette che un limite determi- 

 nato e finito esista per la (8) in ogni punto di tale contorno, si può anche essere certi 

 dell' esistenza di un tale punto (Uo, Vo), che non appartenga all' insieme riducibile sopra 

 considerato e nemmeno all' insieme derivato. 



Si deduce da ciò il seguente teorema : 



