G. Mari etto 



[Memoria XIV. [ 



r iperpiano y4„_, , costituiscono pur essi un' ipersuperfìcie d' ordine n , onde 



secano C in un gruppo della medesima serie ^,,2 , e quindi siccome G e. G' lianno 

 — 1 punti comuni^ sarà G = G' , cioè G' conterrà il punto A^- In alti'i termini possiamo 

 dire che gli ;/ punti A^ , .4.2,...., A^ appartengono ad uno stesso iperpiano. 



Enuncieremo solamente nell' ipotesi di n = 5, il teorema che ora abbiamo dimostrato 

 per ;/ qualunque : 



Se quattro spasi secano la quintica ellittica ìwriiiale, rispettivamente nei 

 punti A,, B,, C,, D,, E,- A,, B,, C,, D,, E,; B.,, D,, E,; A,, B„ C,, 

 D,, Ej allom gli spasi A, A, A, A,, B, B, B., B,, C, C, C, C, , D, D., , 

 E^ E.^ E.^ E^, incontreranno nlteriorniente la curva in cinque punti situati in uno 

 stesso spasio. 



2. Supponendo nel teorema precedente che siano infinitamente vicini i quattro punti 

 A, e similmente i punti B, i punti Cj i punti D, e i punti E, si ha : 



Gli spasi iperosculatori di ima quintica ellittica normale, in cinque punti si- 

 tuati in uno spasio, secano ulteriormente la curva in cinque punti di uno stesso 

 spasio 



Inoltre, è noto che una curva ellittica d' ordine n dello spazio [;/ — 1], ha iper- 

 piani stazionari, cioè a contatto 7Z — punto. Se dunque nel teorema del n. precedente^ si 

 suppongono infinitamente vicini i cinque punti A, i punti i?, i punti C, i punti D, e i 

 quattro punti E^, E^, E.-^, , allora il punto E,^ sarà successivo ad E^ ; cioè : 



Lo spasio congiungente quattro punti stasionari di lina quintica ellittica nor- 

 male^ passa per un altro punto stasionario ■^). 



In generale abbiamo il seguente teorema : 



Data nello spasio [n — IJ nini curva ellittica d'ordine n, siano M, (/= l,2....,n) n 

 punti appartenenti ad uno stesso iperpiano, e M'i {i=ì,'l....,n — 1) n — 1 punti tali 

 che, essendo r 1) //// numero intero, siano incidenti i due spasi e 

 iperosculatori della curva in Mj e M'i rispettivamente. Allora saranno pure inci- 

 denti lo spasio iperosculatore in M^, e lo spasio ^'„_|._i iperosculatore nel 

 punto ,i ulteriore intersesione della curva colf iperpiano A-I'^M',.... M'n-i 



Questo teorema, conseguenza di quello del n. precedente per // qualunque, nell' ipotesi 

 di /' = 1 diventa 1' inverso del primo teorema del presente n", nell' ipotesi di n qualunque, 

 teorema inverso noto solamente per n = 3. 



3. Con ragionamenti simili a quelli del n. 1, è facile dimostrare il seguente teorema: 

 Data una cubica ellittica, si conducano due coniche che la taglino nei punti 



A^, B^ Cj, Z)j , E^, F^, e A^,, B.^, , D.^, E,-., rispettivamente. Le rette A^ A,,^ 



1) Per ;/ = 3 e » = 4 si ottengono teoremi noti. 



-) Per '/ = 4 vedi, p. es., Schroethr Gnind^iìge eiiter rein-aeoiiietrischen Theorie der Raumhurve vierier 

 Ordnung erster Species [Leipzig 1890]; Loria, Stiìl' applicayone delie funzioni Jacobiane allo studio delle linee 

 sgimnhe di quarto ordine e prima specie. [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voL VI, 2° semestre (1890) 

 pp. 179-187], n. 4, IL 



^) Questo teorema, vero per una curva ellittica d'ordine n dello spazio \_ìi — i], era noto per « — 3 e 

 per n — 4. 



^) Un teorema analogo esiste per la curva d' ordine n di \_n — i] dotata di cuspide; vedi Marmetta, 

 Contributo alla teoria delle curve razionali [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXI (1° se- 

 mestre 1906), pp. 192-210], 5 I. ti. 17. 



