Sulle curve ellittiche del quinto ordine 



3 



5, B, , C, , Z), D,, , E., , F., secano ancora la cubica in sei punti situati 

 in una stessa conica. 



Supponendo che i punti indicati con lettere munite d' indice 2, siano infinitamente 

 vicini ai punti indicati con lettere rispettivamente omonime e munite d' indice 1, si ha : 



/ sci punti tangenziali dei punti comuni alla cubica e ad una conica, appar- 

 tengono pure ad una conica '). 



Se poi si suppongono queste due coniche infinitamente vicine, si ritrova la nota pro- 

 posizione che dice come ogni conica contenente cinque tiessi di una cubica, passa per un 

 altro flesso della medesima. 



Similmente è facile dimostrare il teorema : 



Data una qumt/ca gobba ellittica, si conducano tre piani a secarla nei punti 

 A,, Ci, Z)„ e, r/.-l, L', / piani A, A., A„ B, B, B., C\ C.^, D, Z), D,,. E, E., E,, 

 secano ulteriormente la curva in dirci punti appartenenti ad una stessa quadrica. 



\n particolare : 



/ piani osculatori di una qui litica gobba ellittica, in cinque punti di un piano, 

 secano ulterionnente questa curva in dieci punti di una stessa quadrica. 



Osserviamo, infine, che in virtù di quanto si disse in principio del n. 1, si ha, p. es., 

 che se A^, B^ , , , e A., , i?, ^ , Z)., , sono i punti comuni ad una quartica piana 

 senza punti multipli, e a due rette del suo piano, allora le rette A^ A.^, B^ B,, C\, D.^, 

 incontrano ulteriormente la curva in otto punti tali che se sei di essi appartengono ad una 

 stessa conica, questa conterrà pure i due punti rimanenti. 



4. Sia C una curva ellittica d'ordine 2 A' 5 dello spazio |2/i-|-3J. 



E noto che esistono due [k] -j- 2)-secanti una curva ellittica d'ordine 2k-\-A 

 appartenente allo spazio \'lk-{-'2\. Ne segue che per ogni punto M di C passano due 

 spazi [/t 4" 1] (/^ H- 3)-secanti questa medesima curva. Questi due spazi individuano dunque 

 un iperpiano in cui sono immersi, iperpiano che chiameremo [j.. 



Al variare di M sulla curva, 1' iperpiano \>. genera una certa sviluppabile A- Assu- 

 mendo come omologhi un punto M di C e il relativo iperpiiano [x, si ottiene una corrispon- 

 denza biunivoca co fra i punti di C e gl' iperpiani di A '■ dunque A è pure di genere 

 p=ì. 



[.a classe di A, poi, è 2k ^ 'b , giacché per il punto M, per es. , passano (solamente) 

 |j- e i 2/i -)- 4 iperpiani corripondenti alle 2 /e -|- 4 ulteriori intersezioni di C con i-i. 



Osserviamo inoltre che to trasforma i '2k -f- 5 punti comuni a C e all'iperpiano j-i, in 

 2k -|- iperpiani di A passanti tutti per il punto M omologo di E siccome fra la sem- 

 plice infinità d' iperpiani di A •"'t; ne possono evidentemente scegliere 2k -\- 4 linearmente 

 indipendenti, cosi deduciamo che la corrispondenza o) è subordinata ad una correlazione fì. 

 Questa, anzi, è una polarità , giacche all' iperpiano j). , considerato come appartenente alla 

 figura delia curva C, corrisponde il punto M medesimo. Infine, la polarità il è una polarità 

 nulla, perchè nelf ipotesi opposta, la curva C apparterrebbe ad una ipei-quadrica, tale che 



') Nel caso particolare che hi prima conica sia la polare di un punto del phmo rispetto alla cubica , 

 questo è un noto teorema di Cri^mcna. 



Tanturri, Ricerche sugli sparj pliiriseciinti di mìa curva algebrica [Annali di NLitematica pura ed appli- 

 cata, serie IH, tomo IV (1900)], i n. 7 ; e per Jc = i vedi pure Berzolari, Sulle accanii ììiulliple di una curva 

 algebrica dello spayo a tre od a ijuallro dimensioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo IX 

 (I895) pp. 186-197]. 



