4 



G. Marletta 



[Memoria XIV.] 



r iperpiano tangente a questa in un punto M di C, sarebbe 1' iperpiano |i dei due spazi 

 [k -hi] 3) - secanti passanti per M. Ma questo iperpiano tangente dovrebbe contenere 



la tangente in M alla curva, e quindi secherebbe questa in 2 -j- 2 -|~ 2) = 2^ -j- 6 punti, 

 e ciò è assurdo. 

 Concludendo : 



Data tina curva ellittica cV ordine 2^-1-5 dello spazio \2k -|- 3J , esiste una 

 polarità nulla che trasforma ogni punto della curva neW iperpiano dei due spasi 

 \k -\- 1] (/e -|- 3) - secanti passanti per esso 



Applicando le considerazioni fatte ad una quintica gobba rasionale dotata di un (sol) 

 punto doppio, si trova che esiste una polarità nulla, la quale trasforma ogni punto della 

 curva nel piano delle due trisecanti passanti per esso, ma non per il punto doppio. Le tri- 

 secanti siffatte appartengono dunque ad un complesso lineare. 



5. — Sia C una curva ellittica d' ordine 2/e -]- 4 dello spazio [2^ -f- 3J. Per un punto 

 generico P di questo passano due \k 1] {k -|- 2) - secanti C. 



Se^^^J è una serie lineare della curva, i [/e 1] individuati dai suoi singoli gruppi, son 



tali che, in generale, due qualunque di essi non appartengono ad uno stesso iperpiano. Per 



trovare il numero delle g]^^ ' ciascuna tale che due suoi gruppi (necessariamente arbitrari) 



fc+i 



appartengano ad uno stesso iperpiano, si osservi che se 6^ è un gruppo di una delle g^^j^^ 

 cercate, le k -j- 2 rette tangenti a C nei k -f- 2 punti di G, appartengono ad uno stesso 

 iperpiano. Ma k ì di queste tangenti individuano un [Ik ~|- 1] base di un fascio d'iper- 

 piani secanti su C una g\ ; dunque la rimanente delle k -\- 2 tangenti ora dette, avrà per 

 punto di contatto uno dei quattro punti doppi di questa g\. 

 Concludendo : 



Esistono sitila curva C quattro g^^a ' P^'' (-'idscuna delle quali la serie dop- 

 pia è la g^^^l secata dagl' iperpiani di [2k -\- 3]. 



Sia gl^-) una delle quattro serie ora dette, e G nn suo gruppo qualunque ; indichia- 

 mo con [G] lo spazio a k \ dimensioni individuato dai k -\- '2 punti di G. 



Siccome le tangenti alla curva C nei punti di G appartengono ad uno stesso iperpia- 

 no, così [(?] , contato due volte, rappresenta i due |/?H-1| {k-\-2) — secanti uscenti da un 

 suo punto generico. Ne segue che se M h un punto comune a [G} e allo spazio \k -\- 1] 

 di un altro gruppo di ^''^^2' P^'' passeranno c^o^ di tali spazi [k -\- 1|. 



Dunque in ogni spazio come [G\ abbiamo una varietà '{ a k dimensioni , e il luogo 

 di queste varietà f sarà un' altra varietà V a 2k dimensioni. 



ó. — Abbiamo visto nel n° precedente, che per un punto qualunque di V , passano 

 infiniti spazi [k 1] (/e 4" 2)-secanti la curva 6'. 



Viceversa sia M un punto siffatto, non posto però sulla varietà Fak+i costituita dagli 



i) Per A- = o si i-itrova la nota proprietà che le trisecanti di una quintica gobba ellittica appartengono 

 ad un complesso lineare ; vedi Montesano, Su la curva gobba di ordine e di genere i. [Rendiconto del- 

 l' Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, serie II, voi. II (i888), pp. 181-188J. Ma questo 

 teorema della quintica gobba ellittica è addirittura evidente, se si pensa che la rig;ita delle trisecanti è di ge- 

 nere /)= I, e che non esistono quintiche ellittiche immerse nello spazio [5]. Dal fatto, poi, che questa ri- 

 gata non ha generatrice doppia, segue che essa non appartiene ad una congruenza lineare. 



