Sulle curve ellittiche del quinto ordine 



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spazi [/.■] (/.' -j- l)-secanti C\ Dico clie M appartiene ad una delle quattro varietà F indivi- 

 duate dalle quattro .^^.^2 ciascuna delle quali lia come doppia la serie secata su V dagl'i- 

 perpiani di L2/.--|-3|. Intatti, siano G, G' e 6^" tre {J,ruppi di k '1 punti, tali che gli spazi 

 [/v-j-lJ da essi individuati passino tutti e tre per il punto M. GÌ' iperpiani per G, secano 

 su C una ^^^1^2 alla quale appartengono G' e G" \ ma i [A' 1| di G' e G" sono immersi 

 in uno stesso iperpiano, giacche hanno M in comune, dunque G" è un gruppo della 



^2k+4 S'^'cata su C dagl'iperpiani di [L'A--|-3|. Ne segue che questa g^^^ è una delle quat- 

 tro serie che soddisfano alla proprietà più volte citata. Dunque il punto M appartiene ad 

 una delle quattro varietà F. 

 Concludendo : 



// luogo dei punti dello spazio |2k4-3] per ciascuno dei quali passano infi- 

 niti [k-f-1] ciascuno avente in coni une con una curva ellittica d' ordine L*k -|- 4 , 

 k -|- 2 punti, dei quali almeno due non fissi, si spessa in quattro varietà algebri- 

 che da L'k dimensioni. 



7. — Consideriamo una delle anzidette varietà F, e indichiamo con 3 i [k [] in- 

 dividuati dai gruppi della g^^\ inerente a F. Ogni \r\ {r -\- 1)- secante C, con r k , 

 appartiene ad oz^-'^ spazi a, giacché i suoi r -\- 1 punti della curva, con altri k — r punti 

 generici di questa medesima, individuano un gruppo della g^^^ • ^ r = k dunque, per 

 [r] passa un numero tìnito di spazi a, e precisamente passa l'unico o contenente l'unico 

 gruppo di individuato dagli /' -]- 1 (=/t'-^l) punti di C appartenenti all' [r] in di- 

 scorso. 



Vogliamo ora dimostrare che per un punto generico P di un {k-\~ l)-secante, cioè per 

 un punto P di questo spazio fuori dai l [k — 1] che i k ~-\~ 1 punti di 0, posti in [k\, 

 individuano presi a k a k, passa un numero finito di spazi a, e precisamente vi passa il 

 solo a contenente il gruppo di gk+^A individuato dai detti h -]- I punti. 



Infatti se per P ne passassero infiniti, e fosse a' uno generico di questi, a' e [lc\ ap- 

 parterrebbero ad un [2/t -j- 1] (2/e -|- 3) — secante, se a' e {k\ hanno in comune il solo punto 

 P, e allora la curva C sarebbe razionale, ciò che non è. 



Se, in generale, a' e \h] avessero in comune lo spazio [r], con r <C k — I , indivi- 

 duato da P e da r dei k -\- 1 punti comuni a C e a [k\, allora essi apparterrebbero ad un 

 [21c — 1] ('2k — r - 1- 3)-secante, ed anche in questo caso la curva C sarebbe razionale. 

 Ne segue che a' e [lc\ devono avere in comune P e k punti di 6'. Ma allora essendo que- 

 sti, per r ipotesi fatta su P, k -\- l punti linearmente indipendenti, lo spazio a' conterrà lo 

 spazio |7t'], e quindi o' non è altro che 1' unico spazio a individuato dai k ì punti di O 

 in Se ne deduce che ogni spazio a passante per P deve coincidere con questo ora 

 detto, cioè per P non passano infiniti spazi a ; dunque P non appartiene a F. 



8. Consideriamo ancora uno spazio \k\ (/^ -|- 1)— secante C. Abbiamo visto che ogni 

 punto P di esso non posto in alcuno dei /? -f- 1 [k — 11 /.^-secanti di [k], è un punto che 

 non appartiene alla varietà F. Ne segue che la traccia di F in uno spazio a, è una va- 

 rietà 7 a k dimensioni, la quale è secata da un [k] {k -\~ l)-secante di a, nei k -|- l [k — 1] 

 individuati dai k -\- 1 punti di C posti in \k], presi a. k a k ; cioè '{ è d'ordine k^ 1. 



Osserviamo, inoltre, che per "f ciascun punto A di (J è di multiplicitàl , j A'; e 



