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G. Mari et t a 



[Memoria XIV.] 



siccome A appartiene ad x> spazi a, ed è quindi k — pio per oo ''^ varietà come '{ , così 

 deduciamo che il punto A è k — pio per F. Similmente, una corda AB della curva <J, ha 



per Y una multiplicità eguale _ A' — 1, e quindi è anche (k — 1) — pia per F. E 



in genertile, uno spazio [r] fr ÌJ — secante, con r <C />', ha per la varietà F una multiplicità 



eguale a ^ | = k—r. Infine uno spazio [k] {k~{-l) — secante, non appartiene (n. 7) a F. 



9. Per trovare 1' ordine della varietà F, si consideri uno spazio ^ a k -\- 2 dimensioni, 



secante C in k 3 punti generici Ai, A-i , , yJ/^-f a , tali cioè che k 2 qualunque di 



essi non formino un gruppo della g j,^^^ inerente F. Dico che S seca F solamente lungo i 

 i^~k^) \-^^~^\ — secanti C, in esso contenuti; ne seguirà che la varietà F è d' ordine 



Infatti sia, se è possibile, P un punto di F posto in -1, e fuori dai \/c — 1] ora detti. Per 

 P passano infiniti spazi a, uno (almeno) dei quali passerà anche per il punto Ai. Allora, 

 se a' e S hanno in comune la sola retta PAi, appartengono ad un iperpiano , e quindi 

 ^42...., foi mano un gruppo (n" 5) della g'lj_\ inerente a F; e ciò è assurdo perchè 



contro r ipotesi fatta sulla genericità dei /e-p.'i punti Ai...., Aic.yi. 



Se a' e S hanno in comune un |2], questo o non contiene alcun altro punto di C, 

 oltre di Al, ovvero contiene A2, p. es. Nella prima ipotesi o' e ~ apparterrebbero ad un 

 [2/^-[~l] (-/i'-|-4)-secante, e ciò è assurdo. Nella seconda ipotesi, individuerebbero un [2A'-|-1] 

 {2^-|-3)-secante, e ciò è anche assurdo, perchè C non è razionale. Affinchè 0' e ^ ab- 

 biano un [2] comune, questo deve quindi contenere anche un altro, p. es. Ai , dei punti 

 di C. Ma allora siccome P è fuori dai \k — 1] /e-secanti posti in gii spazi a' e S han- 

 no in comune il [3\ = PAiAoAi. 



Posto che ciò sia, a' e S se non hanno alcun altro punto comune, giacciono in un 

 [2k] (2/fe-|-2)-secante, e ciò è assurdo per la solita ragione, cioè che la curva C non è ra- 

 zionale, a meno che il [3 1 ora detto non contenga un altro, p. es. Ai, dei punti di C in 

 2. iMa in tal caso a' e 11 avrebbero in comune il [i] = PAiAìAòAì, e quindi apparterreb- 

 bero ad un [2A' — IJ (2A'-j-l)-secante, e ciò è assurdo, perchè C non è razionale, a meno che 

 il [4] ora detto non contenga il punto A-,, p. es. Ecc. Così seguitando si viene a concludere 

 che se P è in F, esso deve appartenere ad un [k] (^-|-I)-secante, e quindi (n» 7) esso dovrà 

 giacere in qualche [k — 1] /^-secante posto nello spazio Ma anche ciò è assurdo per 

 r ipotesi fatta su P; quindi il punto P non appartiene a F. 



Per quanto si è detto in questo e nei quattro n' precedenti, possiamo concludere il 

 seguente teorema : 



Data ti/ia curva ellittica C d' ordine 2k4-4 dello spasio [2k^3], esistono quat- 

 tro varietà F a 2k dimensioni passanti per essa, le quali formano il luogo dei 

 punti dello spasio [2k-|-3| per i quali passano infiniti |k-(-lJ ciascuno secante C 

 /// k-|-2 punti dei quali almeno due non fissi. Inoltre, ciascuna di queste varietà 

 r è d'ordine (''^^), lia come (k — v)-plo, r^k, ogni \i] {r-\-l)-secante C, e contiene 00"^+^ 

 varietà a k dimensioni, d'ordine k-|-l, e secanti questa medesima curva in k-^2 punti. 



Per k — ì si deduce che per una sestica ellittica normale, passano ^) quattro superfi- 

 cie di Veronese. 



\) Questo caso particolare era noto; vedi Rosati, (igoi). Sulle curve ellittiche del sest'ordiiie [Rtndicontì del 

 R. Istituto Lombardo, serie II, voi. XXXV (1902) pp. 407-411] n" i. La dimostrazione del Rosati è poggiata 



