Sulle curve ellittiche del quinto ordine 



7 



10. Vogliamo ora vedere quali delle {2k-\-'Xf involuzioni di 1^ specie '), trasformanti 

 la curva C in sè stessa, mutano pure in sè stessa ciascuna deile g]^]^ inei'enti alle quattro 

 varietà F del teorema precedente. 



Sia *à una di queste involuzioni; essa trasformerà ogni punto (A' |-l!)-plo della g^^^^, in 



un altro punto siffatto di questa. E viceversa, se il trasforma fra loi'o due tali punti, muterà 

 in sè stessa anche la g\^l Ne segue senz'altro che le involuzioni cercate sono (k^'lf. 



È noto, inoltre, che ogni involuzione fra i punti della curva C, dà come luogo delle 

 rette congiungenti i punti coniugati, una rigata razionale d' ordine 'lk-\-'l. .Se, ora, il tras- 

 forma g'',.^^ in sè stessa, la detta rigata, ad iì inerente, ha co''+i gruppi di k^'l genera- 

 trici poste in uno stesso iperpiano, e quindi sarà dotata di una direttrice minima d' oi'dine 

 (2/^+2) — (/e+2) = k. E viceversa. 



Chiamando, col Segre, singolari queste (k-^'l)^ coUineazioni involutorie trasformanti 

 C in sè stessa, possiamo concludale che 



Delle (2k-|-4)^ iuvoluzioìii di 1" specie che 1 rasforiiuiiio la curva C /// sè stessa, 

 solamente le (k-j--)^ singolari inulaiio in sè stessa ciascunit delle quattro varietà V. 



11. Indichiamo con V * (/= 1^ 2, 3, 4) P ipersuperfìcie generata dagli spazi a ine- 

 renti alla varietà Fi. 



Se P è uno generico dei punti comuni a Fi' e F2*, per P passano intanto c|uattro spa- 

 zi a, due infinitamente vicini inerenti alla varietà Fj, e due infinitamente vicini inerenti a 

 F2, e quindi per P passano infiniti spazi [/^-|-lJ (/i'-)-2)-secanti. Vogliamo dimostrare che 

 il punto P appartiene alla varietà F2k+i formata da tutti gli spazi \li\ (/^-|-l)-secanti C. 



sulla nota rappresentazione piana della superlìcie di Veroniìsh, ed è valida, perchè si osservi che due curve 

 ellittiche normali dello stesso ordine e dello stesso modu'o, sono collineari. Sfruttando opportunamente questa 

 osservazione, si deducono molte proprietà delle CLirve ellittiche. Abbiamo, ad es., che « per una curva ellittica 

 normale d'ordine 2in, passano quattro varietà ad m — i dimensioni, ciascuna contenente co -'"'—'coniche», che 

 per non differisce dal teorema del Rosati. In virtù del priaio teorema del n" 3, abbiamo poi, che se 'i 



è una superficie di Veronese passante per una sestica ellittica , allora conducendo due iperpiani arbitrari a 

 secare questa curva nei punti A^, B^, Cj, Dj, E^, t\, e ^-J.,, 5.,, Co, Do, Ej, F., rispettivamente, le coniche di 

 (2 individuate dalle coppie AiA.,, B^B^,, C^Q, D^D.,, E^E.,, F^^F^, incontreranno ulteriormente la curva in sei 

 punti di uno stesso iperpiano. 



') Segre, Remarqiu's sur Ics Iraiisfoniuilious iniifoniies des courhes ellipliques eii eìles-ììiàìies [Mathematische 

 Anualen, Band X.X.VII (18861, pp. 296-3 1-)] n, 1 ; Castelnuovo, Geomelria sulle curve ellittiche [Atti della 

 R. Accademia delle Scienze di Tonno, voi. XXIV (1888). 



■-) Si uoti che condizione necessaria e sufficiente affinchè una corrispondenza biunivoca oj fra i punti 

 di C, sia subordinata ad una coUiueazione trasformante C in sè stessa, è che m muti un pnnto (k-(-2)-plo 

 di una delle quattro i,'^ ]^l[l2' punto siffatto di una delle medesime . 



^) L'esistenza di queste (k-i-i)'^ coUineazioni singolari, era stata dimostrata, per via diversa, dal Segrk 1. c. n. g. 

 Ciascuna delle 0-^ subordinate ad esse, soddisfi alla relazione caratteristica: (/,• -j- 2) g}^ = s'o^^j^^ì' essendo 

 » 2k+4 1'^ serie secata su C dagf iperpiani di [2/1-1-5]. Se sono incidenti! due spazi [k-(-i] ipcrosculatori di C 

 nei punti A e 5, posto = ^ , si ha ; (/l-1-2) = ^?2k+4 ! viceversa Dunque la condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè i detti due [/t + i] siano incidenti, è che A e B sian coniugati in una delle (/i'-|-2)- in- 

 voluzioni singolari. Ne segue che il luogo dei punti ciascuno comune a dtie Ik -|- i] iperosculatori di C, 

 si compone di {le -\- 2/-' curve razionali, ciascuna appartenente ad un \_k + 2]. 



Per k — o si ritrova che la curva nodale della sviluppabile osculatrice di una quartica gobba di specie, 

 è formata da quattro quartiche piane razionali. 



