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G. Marletta 



[Memoria XIV.] 



Infatti, se così non fosse, allora siccome in P s' incontrano due spazi a, uno inerente 

 a Fi e uno a r2, questi o non hanno alcun punto di C comune, e allora appartenendo ad 

 uno stesso iperpiano sono inerenti entrambi a Fi (e a Fo) , mentre ciò è assurdo Ov- 

 vero i due spazi a hanno in comune qualche punto di C, e anche questa ipotesi è impossi- 

 bile, giacché allora C sarebbe una curva razionale. 



Siccome poi la varietà F2k+i appartiene evidentemente a ciascuna ipersuperficie Fi* e 

 Fa*, così possiamo concludere che queste hanno per totale intersezione la detta varietà 

 Fsk+i, e, di conseguenza, che 



le quattro ipersuperficie Fi* F2* Fg* F4* appartengono ad tino stesso fascio avente 

 Vsk+i per varietà base. 



Ora, gViperpiani tangenti alle ipersuperficie del fascio, in uno stesso punto P di Fau+i^ 

 appartengono alla loro volta al fascio avente per base lo spazio [2/^4-1] tangente a F2k-|-i 

 in P. Ma l'iperpiano tangente a F,* in P, tocca questa ipersuperficie evidentemente in tutti 

 i punti dello spazio a passante per P, quindi esso contiene le tangenti a C nei k-\-2 punti 

 di questa curva medesima posti in a. Ne segue che i quattro iperpiani tangenti in P a F^* 

 Fg* F.j* F^*, passano tutti per lo spazio [2/t-(-l | individuato dalle tangenti di C nei k-\~\ 

 punti dello spazio generatore [k} di F2k+i passante per il punto P, e toccano ancora in 

 un altro punto la curva V medesima. 



Dunque : 



Le quattro ipersuperficie Fi* F2* F3* F4* considerate nel fascio a cui appar- 

 tengono, lianno per rapporto anarnionico il modulo della curva (J '^). 



E noto ^) , poi, che la varietà V^-ifr + i è d'ordine {k -\- onde ciascuna delle 4 

 ipersuperfìcie Fi* F2* F3* F4* è d' ordine k + 2 



12. — .Sia C una quintica ellittica dello spazio |4]. Indichiamo con Pi {i = 1,2,...., 

 25) i punti stazionari di C, e con p, e rispettivamente la retta e il piano di punti uniti 

 rispetto alla coUineazione involutoria Qj un cui punto unito sia P . 



E noto che lo spazio individuato da due qualsivogliano delle rette pi, contiene 

 altre tre di queste rette, e, dualmente, il punto comune a due piani x^, appartiene ad altri 

 tre piani siffatti. E chiaro, inoltre, che una retta p, ed un piano tt, (anche per valori diversi 

 dell' indice /) non sono incidenti. 



P F 



Sia ora g\ = Pi p p , e le rette pi, p.>, p-^, pi, p., appartengano ad uno stesso spazio 



— . Indichiamo con t una retta, certamente esistente, incidente le quattro rette /Jj, p^, 

 Sit^ . La retta / è dunque unita per l'omografia involutoria Sj, e quindi le rette p),=il^p.^ 



e '—T-, = Sx_, , si appoggeranno anch'esse alla retta /. .Similmente, posto g \ = P., p' 



in virtù di ^i.. si deduce che pure le rette pj, 1^X4, Sx- incontrano la /. 



Vogliamo ora dimostrare che rette incidenti pi, pi, p-^, />,, p:,, e x, , Xo, Xj, Xj, x-, 



^) Infatti una g j^^.^ sopra una curva ellittica è individuata da un suo gruppo qualunque. 



2) Per = I si ritrova un teorema del Rosati, 1. c, n. 2. 



3) Tanturri, 1. c. cap. II, N. 2. 



*) La varietà Y\ , della quale è caso particolare la superficie di Veronese , merita di essere studiata, e 

 ciò forse faremo in altr(3 lavoro. 

 ^) Segre, 1. c. n. 12. 



^) D'ora in poi chiameremo spazio ogni [3]. 



