Stille curve ellittiche del quinto ordine 



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non ve ne sono che due. Se, infatti, esistessero infinite di tali rette, proiettando C dal 

 punto ~i T.. in uno spazio, si otterrebbe una quintica ellittica c trasformata in sè stessa da 

 cinque involuzioni assiali. Le cinque rette proiezioni di pi, p.^, ps, />-, , p^ , e le cinque 

 tracce dei piani tc, , r , , TTg , ti:^, Xr,, apparterrebbero ad una stessa quadrica, la quale secando 

 c in 3.5 -|- 1.5 : '20 punti, conterrebbe c. Ma allora questa avrebbe un punto doppio, cioè 

 esisterebbe una corda AB di C uscente dal centro di proiezione x,. Ora ciò è assurdo, 

 giacché A e B sarebbero coniu,L;ati in ciascuna delle cinque ^§"2 subordinate alle coUineazioni 

 involutorie Qi, Q,, ih, ih, ih ■ 



Se dunque si dicono associati /), e iz, per lo stesso valore dell' indice /, possiamo 

 concludere : 



/// ogìii spasio conteiiri/te ciin/iie rette p , esistono due (sole) rette incidenti al 

 medesimo tempo queste rette p, e i piani Xj ad esse associati. 



La proiezione di V da una di queste due rette , è una curva piana degna di studio , 

 ma per amor di bi'evità non insistiamo su ciò , del resto sarebbe cosa facile. 



13. — Consideriamo uno A dei tre punti di 6' posti nel piano Xj, e sia a il piano 

 osculatore in esso. Indichiamo con 'fi la rigata cubica luogo delle congiungenti i punti di C 

 coniugati nell'omografìa involutoria ii| = (p,, x,). 



Siccome A è unito per Q,, tale sarà pure a, onde a seca secondo una retta x, , e in 

 un punto p, . Se la retta a it, non fosse tangente (in A) alla conica x, c^j , ma la secasse 

 in un altro punto distinto M, lo spazio api conterrebbe 3 1 = 4 punti di C , oltre i 2 

 posti sulla generatrice di cp, passante per M. Di conseguenza uno di questi due punti do- 

 vrebbe essere lo stesso punto Op, ~ Pi , cioè per M dovrebbe passare la tangente a C in 

 Pi. Ma allora gli spazi passanti per a secherebbero su C una gì avente come doppio il 

 punto P, , cioè secherebbero la medesima g2 subordinata ad ih,, e il piano a, quindi, do- 

 vrebbe contenere una conica (direttrice) della rigata cp, . Ciò è assurdo, giacché a contiene 

 la tangente a C in A, tangente che è una generatrice di 'f ^). 



Dunque : 



/ piani oscnlatori della curva C nei tre punti posti nel piano Xj (i = 1,2, , 



25), secano questo piano lungo le tangenti in detti punti alla conica 'f, x, . 



In pai'ticolai'e osserviamo che i detti tre piani osculatori non passano per uno stesso 

 punto. 



Proiettando nello spazio ord mai'io, SI ha '. • 

 Data una quintica gobba ellittica omologico-armoìiica, ciascuno dei piani oscu- 

 latori della curva, nei tre punti semplici che questa ha nel piano d'omologia, tocca 

 il cono biproiettaiìte la curva lungo la tangente di questa in esso contenuta. 



14. — Sia c una quintica gobba ellittica generale, cioè non dotata di punto doppio, e 

 quindi non posta sopra una quadrica. Per c passa una (almeno) superfìcie cubica 7, avente 

 come doppi due dati punti qualunque J e i? di essa. A 7 appartengono le trisecanti di c 

 uscenti da A e B, e la stessa retta AB; ne segue che '( è unica, cioè non esiste alcuna 

 altra superficie cubica passante per c e avente A e B come doppi. 



Il cono quadrico delle tangenti in A a contiene la tangente alla curva c in questo 



') Altrimente: oincchè a contiene la tan,!;;ente in A, tangente che è una generatrice di 'fi , esso secherà 

 ulteriormente 'i, in un punto che e infinitamente vicino ad A, visto che a è un piano osculatore. 



Atti Acc, Serie V, Vol. I. Mem. XIV. 2 



