Sulle curve ellittiche del quinto ordine 



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in punti semplici ^) , e per un siffatto punto d' intersezione non passa (n. 13) alcuno dei 

 piani osculatori di G nei tre punti C\. Ne segue senz' altro che 



se una quintica gobba ellittica dotata di punto doppio, corrisponde a sè stessa in 

 ima involusione assiale, essa o non possiede alcun flesso, ovvero ne possiede due. 

 Inoltre : 



Ogni quintica gobba ellittica la quale corrisponda a sè stessa in una invo- 

 lusione assiale \, possiede 0, 1 ovvero 2 coppie di flessi coniugati in I. 



17. — Sia una retta generica di [4|. Proiettando questa curva in uno spazio -1 da 

 un punto O di r, si ottiene una quintica gobba ellittica c, la quale individua una polarità 

 nulla mediante il complesso lineare cui appartengono le sue trisecanti. Indichiamo con o> 

 lo spazio che proietta da O il piano polare del punto i?' = 2 r rispetto alla polarità ora 

 detta. 



Lo spazio co seca C in cinque punti : questi al variare di su r descrivono una se- 

 rie 7 semplicemente infinita. Vogliamo calcolare l' indice di questa serie , cioè il numero 

 dei gruppi di '{ che contengono un punto qualunque P di C. 



Se oj passa per P, vuol dire che il punto P' = OPX appartiene al piano polare del 

 punto R' ; ne segue che questo apparterrà al piano polare di P' , cioè al piano delle due 

 trisecanti di c uscenti da P'. In altri termini possiamo dire che esisteranno due corde di 

 C incidenti la retta OPP' , le quali individueranno uno spazio contenente /'. Viceversa per 

 ogni coppia di corde di C, incidenti una retta 5 uscente da P e posta nel piano Pr, tale 

 che individui uno spazio contenente r, si ottiene -) un gruppo di f a cui appartiene il 

 punto P. Dunque 1' indice della serie f è uguale al numero delle coppie di corde di C se- 

 canti il piano Fr in due punti allineati con P, e tali da individuare uno spazio che con- 

 tenga la retta r. 



Proiettando C da P in 2, si vede che il detto indice è, di conseguenza, il rango della 

 congruenza delle corde della quartica ellittica proiezione. E noto che questo rango è due. 

 Dunque 7 è una serie semplicemente infinita d' indice due. 



Ma si osservi che f non differisce dalla serie secata su C dagli spazi tangenti al cono 

 quadrico di vertice e passante per le cinque corde di C incidenti questa medesima retta. 

 Infatti sz A Q B son punti di 0, e la corda AB incontra r , ed (9 è distinto dal punto 

 AB.r, il piano polare di A non può passare per R' , giacché dovrebbe esso contenere an- 

 che il punto B' , e di conseguenza il piano polare di R' non passa per A'. 



Catania, marzo igo8. 



') Infatti la g'.^ secata dalle trisecanti di una quintica gobba ellittica dotata di punto doppio , ha sei 

 punti doppi, e quindi questa curva non può possedere più di tre flessi. 

 ~) Come si vede proiettando dal punto rs. 



