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SOPRA ALCUNE VARIETÀ DI RETTE ED IN PARTICOLARE SU VARI TIPI, ECC. 



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A 2 A 3 , a 2 a 3 . Ciò si ottiene nel modo più generale supponendo che i punti A u A 2 , A 9 

 stieno ordinatamente sugli spigoli ctjO^, ot 2 a 3 , a 3 aj del triedro ai<i 2 a 3 (ovvero ordi- 

 natamente 1 sugli spigoli a 3 a lt a[Ct 2 , a 2 a 3 ): " Riferiti cioè tre fasci senza sostegni 

 comuni, i cui centri appartengano agli spigoli del triedro costituito dai loro piani, 

 in un'arbitraria corrispondenza trilineare, le oo 2 schiere che congiungono terne di 

 raggi omologhi, incidono pure a terne di raggi omologhi in una cai-rispondenza 

 trilineare fra tre fasci, i cui sostegni sono disposti come i precedenti „ (si ottengono 

 associando coi medesimi centri di quei fasci le altre faccie del triedro che li con- 

 tengono). Le schiere ad esse incidenti costituiscono un sistema del medesimo tipo. 



N° 25. — Fissata un'arbitraria stella (S) di raggi in posizione generica rispetto 

 al triedro ct I a 2 a ; j, le oc 2 schiere che hanno una generatrice a comune con essa e 

 coi tre fasci A^, A 2 a 2 , A 3 a 3 (*), ovvero coi tre fasci A^, A 2 a 3 , A 3 a 1 , costitui- 

 scono due complessi mutuamente polari, che rientrano nel tipo precedente " La 

 stella uscente dal punto 0=a 1 a 2 a 3 appartiene ad entrambi i complessi „. Si ve- 

 rifica agevolmente: 1°) che " ognuno dei due complessi contiene un secondo sistema 

 di schiere, definibile come il primo „ (ponendo 8j= SA 1 A 2 , 8 2 = SA 2 A 3 , 8 3 = SA t A 3 

 tale sistema risulta definito dalle schiere che hanno una generatrice a comune colla 

 stella (0) e coi fasci A 1 B 1 , A 2 3 2ì A 3 ? 3 , o risp. coi fasci ^83, J 2 B], A 3 $ 2 ; in altri 

 termini: " Le rette appartenenti alle oc 2 quadriche passanti per i 4 punti A lt A 2 , 

 A 3 , S e tangenti ai piani a ls ct 2 , a 3 , e le rette appartenenti alle 00 2 ' quadriche pas- 

 santi per i quattro punti A x , A 2 , A 3 , e tangenti ai piani 6 1? B 2 , B 3 , generano i 

 medesimi due complessi cubici, mutuamente polari ,). — 2°) " Ognuno dei due com- 

 plessi appartiene ad un fascio determinato da due terne di complessi lineari spe- 

 ciali, i cui assi sono risp. una terna di rette mutuamente sghembe ed i lati di un 

 triangolo inscritto nella terna „. (E precisamente le tre rette oti8 2 , a 2 8 3 , 038^ ed i 

 lati del triangolo A x A 2 A 3 sono le terne d'assi relative all'uno dei due fasci: le 

 tre rette a^j, a 2 8 2 , a 3 B 3 ed i lati del triangolo A 1 A 2 A 3 le terne relative all'altro: tali 

 rette costituiscono la completa intersezione dei tetraedri OA l A 2 A 3 , SA 1 A 2 A 3 ). 



N° 26. — c) Mi propongo ora (n.' 26, 27) di determinare tutti i possibili tipi di 

 fasci * autopolari ., (v. nota (**) al n.° 12): Corrisponderanno essi a fasci di M 3 4 

 dell' «S^, per cui la varietà base (configurazione V di ( òS 3 , ecc) è autoreciproca rispetto 

 alla 0. Indicati con p, 0", t; p', a', t' le due terne di Si, con R, S, T; R ', S', T i punti 

 comuni a tali @ 4 presi 5 a 5 (R = o"t p'o'x',... T'= paTp'a'), le rette doppie della T 

 congiungeranno i punti R, S, T (opposti nella configurazione agli S' 4 p, o", t, risp.) 

 ai punti R',S',T' (opposti agli S 4 p' ; a', t',). Occorrerà (e basterà) che i punti della 

 terna S, R, T sieno poli degli # 4 della terna p, a, t, ovvero degli S 4 della terna 

 p', 0', t' e che i punti R', S\ T sieno poli degli .S 4 della terna rimanente. Saranno 

 dunque possibili i quattro tipi seguenti : 



I) " Ogni vertice dell'esagono gobbo R S T R' S' T sia polo deH'<S 4 opposto 

 ad esso (e quindi ogni retta della configurazione sia reciproca deH'<S' 3 opposto) , : si 

 otterrà corrispondentemente il fascio considerato nel § 5. 



(*) Le oo* schiere cioè che congiungono quelle terne di raggi che incidono ai raggi della stella {S). 

 Tali terne di raggi si corrispondono in una (particolare) corrispondenza trilineare. 



