19 SOPRA ALCUNE VARIETÀ DI RETTE ED IN PARTICOLARE SU VARI TIPI, ECC. 127 



come autopolare; e le quadriche contenenti le schiere dei sistemi (Li), (Li); (L 2 ), 

 (L 2 '); (L 3 ), (L$) ammettono ordinatamente quali coppie di rette reciproche l'ima, 

 l'altra o la terza coppia di spigoli opposti del tetraedro stesso. Ecc. 



N° 42. — Si suppongano ancora 8 ed ctj reciproci rispetto alla ed i due 

 piani a 2 , ct 3 appartenenti risp. ai due sistemi (S), (P) di piani della <t>. Si avrà : 

 ■ Le co 2 quadriche passanti per un punto dato S, tangenti ad un piano dato tt e 

 contenenti schiere autoreciproche rispetto ad una data quadrica Q, generano due 

 complessi cubici mutuamente polari f ed f (luoghi delle schiere autoconiugate ri- 

 spetto all'una od all'altra delle due schiere (8), (8') della quadrica Q). Le oc 2 qua- 

 driche in questione passano per un secondo punto P (polo di tt rispetto alla Q) e 

 toccano un secondo piano o" (polare di $ rispetto alla Q). Le generatrici delle schiere 

 (8), (3'j sono doppie risp. per il complesso f e pel suo polare f . Son doppie per en- 

 trambi i complessi le rette SP, Cn e le rette dei due fasci Mu, Xv uscenti dalle 

 intersezioni M, X della retta an colla Q e giacenti nei piani u, v tangenti in essi 

 alla Q (piani secantisi secondo la SP, reciproca della <Jtt). Appartengono ai due 

 complessi la congruenza lineare di assi SP, an e le due congruenze spezzate nelle 

 stelle e nei piani rigati M-u ; N-v „. (Complessivamente si hanno dunque in entrambi 

 i complessi le 4 stelle (S), (P), (M), (X) ed i 4- piani rigati (a), (tt), (u), (v)). " Ap- 

 partengono ancora al complesso f [o risp. al complesso f] : la congruenza lineare 

 avente per assi le due direttrici della (8) [o (8') risp.], incidenti alla coppia di rette 

 reciproche SP, 0tt e le due congruenze lineari speciali costituite dai fasci di tan- 

 genti alla (Q) uscenti dai punti delle due direttrici della schiera (3) [o (8') risp.] 

 contenute nei fasci Mu, Xv ,. "Le quadriche contenenti le oo 2 schiere dei sistemi 

 (K x ), (Kt) dei complessi f, f risp., son tutte tangenti ai piani \x, v risp. nei punti 

 M ed .V. Ecc. „ (v> n° 39). 



A complessi " del medesimo tipo „ si perverrebbe supponendo entrambi i piani 

 a 2 , a 3 appartenenti ad un medesimo sistema della (poiché le quadriche conte- 

 nenti schiere autoreciproche rispetto ad una data e passanti per due punti dati, 

 toccano di conseguenza due piani, e viceversa). 



N° 43. — Sia ora il piano 3 in posizione generica rispetto alla <t> ed i piani 

 a i) a 2i a 3' appartengano ad un medesimo sistema della 4> (p. es. al sistema (S)) (*). 

 Si avrà : " Le oo 2 quadriche passanti per tre punti dati e secanti una quadrica data 

 Q secondo quartiche spezzate in quattro rette, generano due complessi cubici mu- 

 tuamente polari f ed f (luoghi delle schiere che hanno risp. coll'una o coli' altra 

 delle due schiere (3), (3') della Q una coppia di generatrici a comune) „. (Si costrui- 

 scono assai facilmente schiere dei due complessi : fissata un'arbitraria coppia di ge- 

 neratrici della (8), ad es., si conducano per A u A 2 , A 3 le rette ad essa incidenti : 

 la schiera congiungente tali rette e la schiera ad esse incidente descrivono, al va- 

 riare della coppia considerata, nella 3, risp. il complesso f ed il complesso f). ' Le 

 generatrici delle schiere (3j, (8') sono doppie risp. per f o per f. Sono doppie per 

 entrambi i complessi le rette aj = A 2 A 3 , a 2 = AiA 3 , a 3 = A t A 2 . Le rette uscenti 



(*) Con ciò i tre piani a t , a 2 , a 3 verranno ad avere due a due un punto a comune, ciò che può 

 sempre supporsi, senza scapito di generalità per la JW* 3 considerata. 



