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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NfMERATIVO, ECC. 



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passare per uno spazio [i — 1] soddisfacente alla condizione di giacere in [r] e 

 di secare i volte la V n p - r di [r] , se risulta s > i „ . 



(Evidentemente il caso 1, r<s-\-l non ha senso per l'ipotesi restrit- 



tiva fatta sopra). 



Inoltre per proiezione si ottiene subito : 



Teorema X. — " Essendo d = r, i > s + 2 ed inoltre supposto 0<f o <f 1 < . . . < 

 <f s <r, se risulta n abbastanza alto (ossia tale che esistano curve rx ,+, ' -,_1 (')), il 

 coefficiente della condizione caratteristica 



(fo, fl,-.-,fs) 



nella funzione lineare di condizioni caratteristiche equivalenti alla (n, p, r;s;i) è uguale 

 al coefficiente della condizione caratteristica 



(fo, fi , • • -, f, , >• + 1 , r + 2, . . . , r + i — s — 1) 



nella funzione lineare di condizioni caratteristiche equivalente alla (n, p, r-f-i — s — l;i;i) . 



Da questi teoremi IX, X si deduce che basta costruire la somma di condizioni 

 caratteristiche equivalente alla (n,p,r;s;i) nel caso in cui [r], spazio ambiente 

 della r^' r , coincida con [d] ed inoltre sia s>* — 1. E utile però osservare che le 

 seguenti considerazioni di questo § sul metodo della degenerazione lineare valgono sia 

 nel caso r < d, come in quello = d, ed inoltre non dipendono dalla disuguaglianza 

 s>i — 1; occorreranno invece altre restrizioni, le quali saranno esplicitamente enun- 

 ciate. Nei § seguenti si applicheranno poi questi teoremi IX, X, perchè bisognerà 

 tener conto delle dette disuguaglianze tra r e d e tra s e i. 



Il metodo della degenerazione lineare consiste nel sostituire ad una curva gene- 

 rica di ordine n e genere p una curva costituita in parte o totalmente da rette, in 

 modo che siano anzitutto soddisfatte le seguenti due condizioni: 



1" la curva degenerata deve avere lo stesso ordine n e lo stesso genere p, 

 2 il nessuna delle rette costituenti la curva degenerata deve essere ne una 

 trisecante, ne una quadrisecante, ecc. della curva. 



Quindi per p>2 il metodo di degenerazione lineare non può dar luogo al metodo 

 dello spezzamento totale, che consiste nel sostituire ad una curva generica di ordine n 

 e genere p un sistema connesso di n rette in posizione generica con p-\-n — 1 inter- 

 sezioni semplici, perchè vale : 



Teorema XI. — " Quando è p>2 « impossibile costruire un sistema connesso di 

 n rette con p -j- n — 1 intersezioni semplici, senza che almeno tre di queste intersezioni 

 cadano sopra una stessa retta del sistema, ossia senza che la curva costituita dal sistema 

 delle n rette ammetta almeno come trisecante una di quelle n rette „. 



Estendendo nel modo più semplice il concetto seguito dal Castelxuovo (cfr. la 

 citata Nota " Un'applicazione della geometria enumerativa alle curve algebriche „) e 

 tenendo conto del concetto di condizione secondo lo Schubert non si giunge al 



(') Per ottenere il limite inferiore di n occorre applicare la formola (1), che si trova a pag. 25 

 della Nota del Castelnuovo, Ricerche di geometria sulle cun e algebriche, * Atti della R. Acc. delle 

 scienze di Torino 24. 1889. 



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