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Per trasformare questi risultati occorre definire le condizioni caratteristiche del 

 tipo tr k (s), delle quali sarà fatto largo uso anche nei § seguenti; cioè si chiami 

 n J 8 ) (k = 1, 2. s + 1) la condizione imposta ad uno spazio [s] dello spazio fon- 

 damentale [d] 'di tagliare in un [k — 1] un dato spazio [k], ed inoltre si ponga 

 ^(«Jasl, Tt»(8) = Ò, quando risulti À->s+l. Quindi da quanto si è sopraesposto 

 si concludono le forinole ricorrenti fondamentali: 



{„.p, r; s; == [n — l,p, r': s, i) + (» — 2,p. r': e; i — 4- 

 . . -4-'(« — i, p, r'\ s ; 1) tt ( _i (s) -f ti, (s) . 



(n, p, r ; s; = (» — ì, p — 1, r'; s, i) + (« - 3, p — 1. A s; i — 1) ir, (s) + 

 + 2 .( w -4.p-l,r';«;i — 2)n 2 (s) + ...+ (i-.l).(« — »-l,p— 1^; s; lK-^-W. tt, (s) 



dove in ciascun simbolo del tipo (n\ p', r'; s-J) r' è uguale ad r, se esistono curve Vp r , 

 altrimenti è uguale alla dimensione dello spazio, a cui appartiene la curva normale 

 generica irriducibile di ordine ri e di genere v 



Queste due forinole ricorrenti sono fondamentali per costruire la somma di con- 

 dizioni caratteristiche equivalenti alla condizione (n, p, r; s; i). È facile vedere che 

 non sono indipendenti tra loro. Infatti, ammessa vera la prima per p=p\ applicando 

 la seconda per p = p'-f 1, si può dimostrare la prima per p=p'+ 1. 



Associando poi tra di loro queste due forinole se ne può ottenere una più sim- 

 metrica della seconda. Infatti, osservando che per la prima vale: 



(„ _ 1, p _ 1, /: s: i) = {n-2,p- 1, r'; s; i) + (n - 3, p — 1, r': s; i - t)M») + 

 4- (« — 4, p — 1, a;* — 2)tt 2 (s) + . . . + tt,(s), 



dalla 2 a segue: 



(», p, r; s: t) = (n - 2. p - 1, fi s, i) -f 2 . (n - 3;?)— 1, r*; S; i — i)n, (s) + 

 _L . . ; _j_ f . (■„ — i — 1, y> — 1, r': s; 1)tt,_ v (s) 4" (* 4" 1) • 



Siccome le formolo ricorrenti ora trovate non dipendono da 3 e non dipendono 

 essenzialmente nemmeno da r. per brevità si potrà d'ora in poi fare la convenzione 

 di scrivere anche (ri,p';j) in luogo di (ri, p', >•'; s; j) sottintendendovi r' ed s, colla 

 ipotesi che r' è uguale ad r, se esistono curve generiche irriducibili di ordine ri, 

 di genere/, appartenenti allo spazio [r], altrimenti r' è uguale alla dimensione 

 dello spazio a cui appartiene la curva normale generica irriducibile di ordine ri e 

 di genere p' . 



Volendo poi estendere il campo delle forinole ricorrenti ora trovate, si potranno 

 togliere le disuguaglianze tra l'ordine ri e il genere p' della curva generica irridu- 

 cibile, che si riferisce al simbolo («',/; j), introducendo il concetto di curve virtuali 

 di ordine e di genere qualunque; cioè per convenzione le forinole ricorrenti trovate 

 valgono qualunque siano gli interi (positivi, negativi, zero incluso) h',p', ammettendo 

 che i simboli del tipo (ri.p'ij), quando non esistono curve generiche irriducibili di 

 ordine ri, di genere p', appartenenti allo spazio [»■"] (essendo r" un intero positivo 

 non superiore ad r e maggiore di 2), si riferiscano a curve virtuali generiche di 

 ordine ri e genere y/. 



