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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERAT1VO, ECC. 



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riassumendo si conclude : 



Teorema XII. — " Quando sia s>i e r<i, oppure i>s-)-l, r — d, purché risulti 

 r > min(i -j- 1, s -f- 2), la condizione (n,p,r;s;i) soddisfa alle forinole ricorrenti fon- 

 damentali 



(I) (n,p, r; a;*) =(» — l,p;«) + (» — 2,j> ; i — 1) w, (s) +•••+(« — », p ; 1) + w< (*), 



(II) {n,p,r\ s; i) = («— 2,p— 1 ;i) + 2 . (n-3,p— 1 ; i— IJlt^s) + 3 • (»-4,p— 1; »— 2)tt 8 («) + 



4 • • • + i(n — i— l,p — 1: 1)tt,_,(s) + (i-fl) ,rt t (s) „. 



Teorema XIII. — " La f or mola (I) per p=t=0 è una conseguenza immediata della (I) 

 per p = e della (II) ,,. 



Oltre la (II) è utile ricordare 



(II') (n,p, r; s; i) = (n — 1, p - 1 ; i) + (» - 3, p - 1 ; i — l)* r (s) + 



+ 2.(w — 4,p — 1; i — 2) + ... + — (« — »- l,p — 1; l)ir w (*J4W. **(*). 



Nella mia citata Memoria trovandosi le forinole, che servono ad eseguire 

 qualsiasi prodotto di condizioni caratteristiche, si conclude che le forinole (I), (II), (II') 

 risolvono numericamente la questione di costruire la somma algebrica di condizioni 

 caratteristiche equivalente alla (n, p, r; s; i). Avendo introdotto le curve virtuali di 

 ordine e genere qualunque, qui e nel seguito bisognerà sempre parlare di somma 

 algebrica (e non di somma aritmetica) di condizioni caratteristiche equivalente alla 

 (n, p,r; s; i). In particolare poi è risolto numericamente non solo il problema del 

 numero degli spazi plurisecanti una curva generica irriducibile di ordine n e di 

 genere p, ma anche quello più generale del numero degli spazi plurisecanti più curve 

 generiche irriducibili di dati ordini e generi. 



Lo scopo di questa Memoria non è solamente quello della risoluzione numerica, 

 ma di costruire prima (cfr. § 6) la funzione (non lineare) di condizioni caratteristiche 

 del tipo TT fc (s) (k — 1, 2, . . s -4- 1) equivalente alla (n,p, r; s\ i) , e dopo (cfr. § 7 e 

 seguenti) per mezzo di un metodo simbolico costruire la somma di coudizioni carat- 

 teristiche equivalente alla {n,p,r; s;i). 



6. — Principali teoremi sui prodotti di condizioni caratteristiche 

 del tipo Tr fc (s) (k = 1,2, s -4- 1). — Trasformazione della condi- 

 zione (n,p,r;s;i) in una funzione non lineare di condizioni 

 caratteristiche del tipo rc k {s) (k — 1, 2, ... , s -f- 1). 



Prima di trovare le formole atte a trasformare la condizione (n,p, r\ s; i) in una 

 funzione non lineare di condizioni caratteristiche del tipo ir*(s) (k == 1, 2, s -f- 1), 

 sarà utile dimostrare alcuni teoremi sul problema degli spazi secanti, che forniscono 

 un modo rapido per eseguire i prodotti di condizioni caratteristiche del tipo tt a .(s) 

 (jfe= 1, 2, s -\- ì) e che inoltre costituiscono il fondamento delle considerazioni 

 simboliche dei seguenti § per trasformare la condizione (n, p, r: s; i) in una somma 

 di condizioni caratteristiche. 



