33 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERAT1VO, ECC. 465 



Teorema XV. — " Rispetto alle condizioni caratteristiche (f , f Xj f s ), soddisfa- 

 centi alle restrizioni 



(7) /;_ u+1 + U - 1 = f,. u+i + « - 2 = . . . = + 1 = = d , 

 essendo u un intero non maggiore di s -f- 1, vale la relazione simbolica: 



(8) (/o, fu f,)TtM = tfi» fi, f>)P a SM, 

 ossia per brevità: 



(9) TT„(.S) = P-flg , 



tenendo implicitamente però presenti le restrizioni (7) „. 



Siccome per w = 1, il teorema XV diventa il teorema XIV per u = d — s — 1, 

 è lecito dimostrare la relazione simbolica (9), supponendola vera, quando in luogo 

 di u si pensino 1, 2, u — 1. 



Interpretando simbolicamente l'identità 



n v (s)a d -,(s; d) = o,,_ s {s; cfynjs), 

 sempre in virtù delle restrizioni (7) segue la relazione simbolica: 



(10) P'SU'JP = P-**flg {v= 1, 2, . . ., u — 1). 



(È facile osservare che in generale non vale la relazione simbolica S,$P=PS$). 

 Dalla formola (I) di $i si ottiene: 



(1 1) it«(«) = tt^s)^^; <2) — o- d _,(s : rf)TT u _,(.s) 0",_ s _ 2 (s; d) -f 



+ [a (i _ s (s; ^pir^CsJ^-sCs; d) — ... + (— l)*^[<T«_«(«j f(t*th^Jb\ tyi 



(u = 2, 3, 8 + 1, essendo però d>s-\-u; altrimenti bisogna pone lo zero in 

 luogo dei simboli o"„(s; d), il cui indice v è negativo). 



Per le ipotesi fatte sopra e per il teorema XIV, quando siano soddisfatte le (7), 

 si deduce -dalla (11) la relazione simbolica: 



tt„( S ) = p-^.ptI'S - p- - 1 A,.pt4S + p"- i s { , , ji 3 , s pv^ -... + (- ìr'p- 1 ^, 



ossia per la (10) : 



m = nm^ns - a*v$ì + sg^rg -...+(- i^f©, 



Tenendo ora conto di una nota relazione sulle funzioni simmetriche caratteri- 

 stiche (cfr. p. es. la (4) della mia citata Nota, Alcune proprietà delle funzioni simme- 

 triche caratteristiche, nel caso particolare l = s), segue subito: 



TT„(S) = P U S[HÌ C. V. d. 



Per mezzo di questi teoremi XIV, XV si potrebbe costruire una nuova risoluzione 

 simbolica del problema degli spazi secanti. 



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