35 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATIVO, ECC. 467 



Associando tra loro i teoremi XVI, XVII segue: 



Teorema XVIII. - " Le condizioni del campo n, le quali molti [diente per tt u (s) 

 (u = 1, 2, i) diano luogo alla condizione del campo tt 



(fo, fi, -i fi-u d — s + i, d — s + i + 1, . . ., d) 



sono rispettivamente solo quelle ottenute eseguendo il prodotto simbolico 



(fo, fi, f-x, d — s + i, + d)S { ?UQ\ 



Inoltre le condizioni caratteristiche non nulle, ottenute eseguendo il prodotto 



{fo, fi, ■■; f'—l, d — s + i, d — s -f* + li • • - , d)S\lJ-i 

 sono tutte del tipo 



(0, 1, . . ., u — 1, fj, /Vi, • • m fi-i, d — s-\-i, d — s -\- i -f 1, . . ., d), 

 dove si ha: 



i« </"„'< f' u + 1 <•■■ < f\_ 2 </",_,< d — s -f i, 



/ri/» i »(* + !) "('< + 1 ) 



/u T" / iH-l T" • • • "T / i-i — 2 2 " ' 



Rispetto alla seconda parte di questo teorema si osservi che dalle (12) segue 

 fi_ x <2i — 1. onde eseguendo il prodotto 



(fo, fi, ..-,'fi-u d-s + i, d-s + i-hl, d)S\?U 



si ottengono condizioni caratteristiche (/* ', /"/, fj), le quali o sono nulle, perchè 

 due almeno delle f ', /V, fi sono uguali tra loro, oppure soddisfano alle restrizioni 



fo = fi = 1 = ••• = r«-x - « 4- 1 =0. 



Riservando nel § seguente la continuazione di queste ricerche sulle condizioni 

 del tipo Ti fc (s) (&=1, 2, s -f- 1), è ora invece utile trovare le formole atte a 

 trasformare la [n,p, r; s; i) in una funzione non lineare delle condizioni caratteri- 

 stiche TTj(s), TT 2 (s), 7T J+1 (s). 



Si designi con 6 il simbolo operativo definito dalle relazioni simboliche 



(«', p'; = («' — tt, p; j — u), se è < u <j — 1, 

 (»', p'; j)V = 1, («', p'; ;)e" = 0, se è u > j\ 



invece il simbolo operativo 9 è definito dalla 



« p'; j)* = (n'-i, p'; j). 



Risulterà definito il prodotto di (fi', p'\ j) per una funzione razionale intera di 

 simboli e, 9-, quando, dette qp 1? qp 2 due funzioni razionali intere qualunque di 6, 9 (avente 

 anche come coefficienti funzioni delle tt^s), tt 2 (s), tt s+1 (s)), si pensi alla relazione 

 simbolica 



(»', p; j) ((Pi + qp 2 ) = («', p'; j)cp, -f (n', p'; j)cp 2 , 



