468 GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 36 



e che inoltre il prodotto («'. p'\ j)<Pi<P 2 è uguale al prodotto di (n . p'; /Jq^ per qp 2 . 

 Evidentemente segue : 



(«'. p'\ j)q>i<p* = (»', p':j)<Pi<P2 (proprietà commutativa). 



In virtù di questi simboli operativi 0, .9-, applicando più volte le (I), (II). (IF) si 

 ottengono le relazioni simboliche: 



(13) " (n, p; i) = (n, p; i)9*[l +■ ^(s) . 6 + . . . + tt,( s ) . 8 1 ]" 



(14) («, pi i) = (n - », p - »; W + 2 . %(*) . 8 + . . . + (i + 1) . *,(«) . e']", 



(15) (n, p; i) = (n — u, p — «; i) [1 + *i00 . 9- .0 + . . , -j- i ; tt,(s) . 3- . 6']". 



Da queste relazioni seguono subito: 



(16) {n, p) i)'= 



= {n—p, 0; i) . 9*+*.[l + 2ic t («) . 6 +...+(* -4- 1). *,(«). e*]' [1 + „,(«). e + ...+tt,(s) . 9f, 



(17) (», pi i) = 



= (» — p, 0; i). 9-". [1 + tt^s) . H -f ... + i . k.(s) . 9- . [1 + tt^s) . e -f ... + * f (a) . 6*]* 



Occorre definire la yurte di peso i di una funzione razionale intera delle tt^s), 



tt 2 (s) ",($). Supposta scritta tale funzione sotto forma di una somma di termini 



del tipo 



e K00]" 1 K(s)]^...[-rr,(s)]«., 



dove c U] u. : .. uì indica un coefficiente numerico (positivo o negativo), si dirà parte di 

 peso i di tale funzione la somma di quelli tra i detti termini, per cui gli interi (posi- 

 tivi, zero incluso) u Xì u 2 , .... «, soddisfano alla restrizione 



u x -j- 2u 2 — ... -f- itti — i. 

 Siccome geometricamente si trae subito: 



(18) (i, 0. i: s: i) = ir,(s), 



in virtù delle (16), (17) si conclude: 



Teorema XIX. — ■ Quando è s>i e r<d. oppure i>s+l, e r = d, purché 

 risulti p>0, n > 2p + i — 1, r > min{\ 4- 1, s + 2), la condizione (n. p, r; s: i) è uguale 



alla parte di peso i della funzione 



[1 + 2 . *,(«) + 3 . TT 2 ( S ) 4- ... + (i + 1) . TT.( S )p [1 + ir 4 («) + 1T 2 ( S ) + . . . + TT^)]-*"* 1 , 



oppure della funzione 



■J({;)K(«) 4- 2 . ti 2 ( s ) + ... + i • tt,(s)]" [1 + ^(s) + ir,(*) + ... + n^)]"-"— u + 1 



