37 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATIVO, ECC. 460 



Scrivendo i risultati sotto forma esplicita il teorema XIX diventa: 



Teorema XX. — " Quando è s>i e r < d, oppure i>s-j-l, e r = d, purché 

 risulti p>0, n > 2p -f- i — 1, r > min(ì -j- 1, s -|- 2), la condizione (n, p, r; s; i) è uguale a 



nm V21 ti-\-n* y! ! (»-2p — 



l* ; ^ -l I ; t . 1 !... v . ! (p_ t , 1 _..._ r .) ! ( Ml _ Vl ) ! ..( Mt _ t . I .)!( M _2^_^i_ Ml _..._^ ' 



[it 1 (s)]-' . . . [tt^)]*, 



dove £a sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi e nulli delle Uj, .... u,, v u v,-, 

 per cui 



t\ < . . . , Vi < Mi, ?<! + 2tt 2 + • • • + «*< = », 



*'i + • • • + v i — Vi «1 + • • • + u i — v i — • • • — Vi < n — 2p — i 4- 1 ; 

 oppure la (n, p, r; s; i) è uguale a 



fili') V Vi i" p]{n —P — i-Vj- ••• — vi + 1)! 



[ir 1 («)]«'...[Tt < (a)]«« > 



dove Za sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi e nulli delle u 1( u ( , v t , v< 

 per cm* 



. . . , Vi < % -}~ 2t< 2 + • • • + M*< = * , 



La formola (III) nel caso particolare p = diventa 



< m >» E «■ ^-1+1-".; a Ws) w • 



dove la sommatoria è estesa a. tutti i valori interi positivi e nulli delle m 1? w< 

 per cui 



u x + 2?< 2 -(-... + = *) 1*1 ~h . . . -f- Hi — » — t -f- 1 ; 

 quando — 1 si ha invece : 



(HI)! n . V — ,/ W ~'~ 1)! rr K00]". ... fTT t (s)]«', 



v ' Mj! ... Mi! (w — * — M| — ... — Ui)' 



dove la sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi e nulli delle m x , . . ., 

 per cui 



Ux -\- 2u 2 -f"" ... -jr *M< = i, «! -f~ • • • 4~ w < — w — *• 

 Se in questi due casi particolari della formola (III) si suppone inoltre 

 r = d, (s-f l)(r — s) ==i(r — s— 1) , 



si ottengono due formolo fondamentali della citata Memoria, Ricerche sugli spazi 

 plurisecanti ecc., del Tanturri. 



La (13) per u = 1 dà poi luogo alla relazione simbolica 



(19) 1 =*[i +Tn(s)e + ... 4- *,■(«). e*l , 



