43 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATI VO, ECC. 475 



sempre pensare come la serie dei numeri interi 0, 1, i -(-/e — u, quando da essa si 

 escludano gli i — u numeri 



i + k — fi-u i + w — fi_ 8l i + k-f'^ u i + k — fj. 



Ora è utile ricordare il significato del simbolo Q introdotto nel § precedente e 

 che /o>Ai -"ifi-\ 6 la serie dei numeri interi 0, 1, i -j- k, quando da essa si esclu- 

 dano i k -4- 1 numeri 



i + k — c k , i-\- k — tv_i , . . • , i-\-k — c 1 , i + k — c . 



Perciò si conclude che tra le condizioni caratteristiche positive non nulle otte- 

 nute dal prodotto simbolico 



(27) (f ,fi, fiJi, d — s + i, d — s + i+1, d)S< ó Li<?" 



e le condizioni del campo tt ottenute dal prodotto simbolico (22) esiste una corri- 

 spondenza biunivoca senza eccezione nella quale sono omologhe la condizione 



(fJ — u, f'u+i — m, . . . , fi-i M; d — s + i — u, d — s + i—u + \, . .., d) 



ottenuta dal prodotto (27) e la ((; \ c/, e,' ; s, i — a) ottenuta dal prodotto (22), 

 dove 6* \ Ci, c k non è altro che la serie dei numeri interi 0,1, k — u, 



quando da essa si escludano gli i — u numeri 



i + k-f',^, i+k — f'^, i + k—f',^, i^-k — fj. 



(E però implicitamente sottinteso che nel prodotto (22) ogni condizione carat- 

 teristica negativa deve essere eliminata con un'altra uguale in valore assoluto e 

 positiva). 



Siccome in questa corrispondenza due condizioni omologhe sono uguali, risulta 

 subito dimostrato il teorema XXI. 



Da questa dimostrazione e pensando alla formola (I) di JR si ottiene sotto forma 

 non simbolica il seguente nuovo enunciato del teorema XXI. 



Teorema XXII. — Le condizioni caratteristiche del campo tt, le quali moltiplicate 

 per tt u (s) (u = 1, 2, i) diano luogo alla condizione caratteristica del campo tt 



(c , Ci, . . . , c k ; s, i), 



sono solo le 



(c ', c^, . . ., c k '; s, i — m) 



per cui 



< C Q '<C , C + 1 < Ci < Ci , . .., C fc _i + 1 < c fc ' < c,. ,. 



Questi risultati sulle condizioni caratteristiche del campo tt servono ora a tras- 

 formare sotto l'aspetto simbolico le forinole fondamentali ricorrenti (I), (II). 



Occorre anzitutto in questo § e nei due seguenti , tranne quando non si 

 avverta esplicitamente il contrario, fare l'ipotesi che risulti s>i e r<d, oppure 

 i = s -f- 1 . r = d. 



