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GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



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la (Vili) diventa: 



(X) (c , ci , . : ? , c* ; n, p ; a, •) = 



= (c , C! , ... , c k ; n,p—l;s, i) (1— b ) (1— &,) - (1 — M 



od anche introducendo le derivate parziali rispetto ai simboli b , b t , 



(X') (c , c X) . . ., f fc ; >?, s, t) + 



— •4-— 4- 4- — 

 òb ~ db, ~ "• ~ db* 



r d d di 

 + (e,,, ci, ...,<?*; »,!>— 1;«, t) à>t + av" + •••+ (1— b o)(l— °i) .-(1— b k ) = 0. 



Queste forinole (IX), (X) sono le più semplici possibili per trasformare la con- 

 dizione (n, p, r; s; i) in una somma algebrica di condizioni caratteristiche. Inoltre 

 dalle stesse (IX). (X) si possono ricavare le forinole fondamentali (I), (II); anzi la (I) 

 si può ottenere direttamente colla sola applicazione della (IX) senza far quindi alcun 

 uso della forinola (X) o di quelle ad essa equivalenti. 



Per applicare le forinole (IX), (X) conviene fare altre nuove considerazioni sim- 

 boliche. 



Detta u»(c , Ci, ... , c k ) una funzione qualunque dei numeri interi (positivi, negativi, 

 zero incluso) c 0) c lt c k , è per definizione 



vjj(c , c 1 , ... , c,..)ò„ =1»(«óVci, . . - , c « — !» c «+i> 4»+t» • • •> c »;)> 



Risulterà definito il prodotto simbolico di \\i (c , <\ , . . . , c k ) per una funzione 

 razionale intera delle ò , b lt ... , ò,.. , quando, dette <Pi , qp 2 due funzioni razionali intere 

 qualunque delle b , b t , ò k , si pensi alla relazione simbolica 



y (c , Ci,..., c k ) (cp! fj- <p 2 ) == i|i(c , ci, . . . , c k ) q>i + qi(c , <?i , . . ., Ci.) q> 2 



e che il prodotto y>(c , ci, c fc ) q)i <p 2 è uguale al prodotto di 4j(c , Cj, c^qp, per qp 2 . 

 Evidentemente segue: 



i|i (c , Cx, > . . c k ) qp 1 <p 2 = Jjr (c , c t , . . . , e») cp 2 <Pi 



(proprietà commutativa), 



ed inoltre, se q> t è una funzione razionale di grado zero delle ò , b, . ò k , cioè è 

 un numero, il prodotto vjj(c , c x , c k )cp 1 non è altro allora che il prodotto del 

 numero cp t per la funzione iy(c , c x , c k ). 



Prima di applicare queste definizioni al determinante di Schubert bisogna am- 

 pliare il concetto di coefficiente binomialr. 



Essendo a un intero positivo, negativo, zero incluso, ed essendo b un intero 

 positivo non nullo, si porrà 



a(a— !).. .(«— 6+ 1) 



inoltre 



«0 = 1> *-i = 0. 



