482 GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 50 



ct> 1( <t> 2 due funzioni razionali intere qualunque delle A , A t , ... , A*, si pensi alla 

 relazione simbolica 



D h (c , Ci , . . ., cui » ; 0o, 0i 1 .?") (*i + %) = 



= D k {c ,c 1 ,...,c k ;m;g Q ,g l , ...,g k ) <*>i + D k (c , c u ... , c* ; m ; g , g l , ...,gk)Q>> 



e che il prodotto 



è uguale al prodotto di 2>k(c 0l c M e*;£ , 0i> •••» 0*)^! per <t> 2 ; quindi evidente- 

 mente, come in casi analoghi precedenti, si ha la proprietà commutativa ecc. 

 Infine rispetto al determinante di Schubert 



D k {c ,c 1 , • • 0òv0i. 9") 



è utile osservare che è certamente nullo, quando tutte le c {) , c l , ... , c k non siano 

 interi positivi zero incluso tra loro differenti. 



Premesse queste definizioni si può dimostrare: 



Teorema XXIII. — * II determinante di Schubert Djt(c , c t , .... c ft ; m; g , g x , g*) 



soddisfa alle relazioni simboliche 



(XI) D h {c , Ci, . . . , e»; m\ g , g t , . . ., 0») (1 — b ) (1 — b t ) . . . (1 — b k ) = 



= Z> )t (co,c 1 , . . .,c k ; m — ì;g , g lr . . .,g k ), 



(XII) D h (c ,c u c k ; ?n; # , 0i, -, 9*) (1— b )(l— b x )...(l— b*) + + - + 



= Z) fc (c , c 1? . . ., c k ; m; g , g lf . . . , g k ) (A 4- A x + . . . 4- A t ) „. 



Essendo ora ^ un intero qualunque positivo (zero incluso) non maggiore di k, 

 si designi col simbolo 



D*A c o , <à , . . . , e* ; w; a , r/i , . . . , gk) 



si designi il determinante D k (c , c x , e»; m; g , g lt quando in luogo degli 

 elementi della (« + l) sima (« = 0,1,...,» colonna si pongano rispettivamente quelli 

 della (u -4- l) sima colonna del determinante A(c , c 1? e*; ?w — 1 ; , 9\ . 0*); ossia 



J3*,i(«ft,«u • • •. cu; >»; #o, 0i, • • -i </*) 



non è altro che il determinante 



(c 4-m— 14>5f )c ••• (< V | »' l+yb^ (c;-(-i-H»+0o)c,. +l ••• (^+»'4-0oK 

 (c -(-»w— l+0i)c o • • • (o-f»»— l+0x)« y fa-M f >"+0i)c, +1 • • • (c/t+wi-f-0iK 



(c +m—l-\-g k ) Co . . . (cj fw— l+0*)«, (Ci+l4"^+0*)e H , ■ • • (c*+»'+0*K 

 il quale diventa un determinante di Schuhert solo, se è j = k. 



