494 GIOVANNI ZENO GIAMBELLl 62 



Tenendo sempre conto delle convenzioni fatte nel § 7 sul simbolo a b , si può ora 

 trovare una formola, sostituibile alle (XVII), (XVIII) quando p è negativo, la quale 

 vale pure quando p è positivo, in entrambi i casi poi supponendo n sia positivo, sia 

 negativo. 



Ricordando che è nullo il prodotto simbolico 



(c , <à c *? *h P\ s > »)<P(o„. °i, M 



essendo ^p(b , b 1? ò k ) una funzione omogenea delle ò , 6 lt b k di grado maggiore 

 di i dalla (X) segue: 



(c , Ci, <*; n, p; s, i) = 



1— b "T" 1— ò, 1 ' 1-b* 



= (c . Cì;w,ì>— l;s,t')(l— b )(l— òi) -(l — Oa) 



= (c 0l c u c k ; », p— 1; *, *) (1 — b ) (1 — b^ ... (1 — b t ) . 

 . [1 + b + Ò! + ». + + *>? + - +*S + + oò + b\ + ... + bi] . 



Per eseguire la potenza ad esponente negativo 



[t + *0 + *i + - + &* + *>5 + b? + ... + ò* + + &j + bj + ... + *g» 



(essendo un intero negativo), 



occorre applicare lo sviluppo in serie di potenze di più variabili (ossia la serie poli- 

 nomiale) limitato ai termini del tipo o*«b*i ... &«•* per cui risulti Ko+W»~fc" j 

 inoltre evidentemente non bisogna tener alcun conto della convergenza. Quindi si 



conclude: 



Teorema XXX. — " Quando p è negativo, alle forinole (XVII), (XVIII) si deve 

 sostituire la 



(Win) y 



\* pip — 1) — (p — Mot — '«08 — ... — Mp. — Ukj — Ule, — ... — KJtt + l) 



. D{c — u 01 — 2u 02 — ... — iu oi , . . . , et — Mfc! — 2m J2 — • . . — iuk, ■■; n — p — i — k ; 0, k) 

 dove la sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi, zero incluso, delle 



w 01 ì M 02 > • • • ) u 0i i ) M *l i w *2 ) • • • ) W/tf 



per cui risulta 



«oi + 2w 02 + • • • + iu oi -f- + ut! + 2mì 2 + . . . + - *'• 



Inoltre la (XXIII) è identicamente uguale alle (XVII), (XVIII), quando p è positivo 

 oppure zero; l'ordine n poi può essere tanto positivo quanto negativo „ . 



Questa formola (XXIII), che vale per qualsiasi curva algebrica generica non 

 virtuale oppure virtuale, sebbene non sia scritta sotto forma elegante e semplice 

 come le (XVII), (XVIII) ecc., pure (tenendo anche conto delle considerazioni del 

 § seguente) si deve considerare come la soluzione più generale del problema di 

 trasformare la condizione («, p, r; s; i) in una somma algebrica di condizioni carat- 

 teristiche. 



