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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATI VO, ECC. 



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IO. — Il metodo funzionale di Cayley e le formole ricorrenti fon- 

 damentali. 



Il metodo funzionale di Cayley per risolvere i problemi di geometria numera- 

 tiva è stato perfezionato dal Severi, avendo dato nella citata Memoria, Sopra alcune 

 singolarità ecc. la soluzione algebrica di una estesa classe di equazioni funzionali. 

 Per trasformare la condizione (n,p, r; s;i) in una somma di condizioni caratteristiche 

 si potrebbe applicare il metodo funzionale di Cayley, tenendo conto della forinola 

 del Severi e delle formole che servono ad eseguire il prodotto di più condizioni 

 caratteristiche. Siccome la ripetuta applicazione delle formole che servono ad eseguire 

 il prodotto di più condizioni caratteristiche, conduce a risultati molto complicati 

 anche per piccoli valori di i, è impossibile dal punto di vista pratico seguire questo 

 procedimento. Quindi anche per il metodo funzionale si presenta assolutamente neces- 

 saria una teoria simbolica, la quale si può estendere a problemi analoghi a quello 

 della presente Memoria. 



Per render più breve questa teoria occorre dimostrare una notevole identità: 



Teorema XXXI. — " Essendo m,m', i interi positivi tali che risulti m>i — 1, 

 m'>i — 1 e indicando con u ,ùi,...,ùi interi positivi, zero incluso, soddisfacenti alle 

 relazioni 



M] + 2u 2 -(-••• + «*i = * u o ~t~ **i -J- é . . + «*= m H~ m> — ' ' -f - 3, 

 vale l'identità: 



(xxiv) (»+*-»-+ 8 A = (w+ 2)y y (>»-<+!) ! Di 



' w l mi ! ...Mi! v i—l i—i» v l t»i! ... vi, 



! (mo—»o)!(«i-»ì)!. ••(«.— vì)1 ' 



1=0 (u;i;f) 



.»i+2 



dove y significa che la sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi, zero incluso, 



delle v , v x . ... , v,- soddisfacenti alle restrizioni 



v <u , v t SUi, . . ,,i>i<tii, v x -\- 2i> 2 -f- . . . + h\= t , 

 »ò + »i + • • . + ^ = m — t -f 2 ». 



Per dimostrare questa identità si potrebbe applicare un procedimento numera- 

 tivo geometrico; ma non è logico far dipendere da concetti geometrici la dimostra- 

 zione di una identità algebrica; quindi, volendo fare una dimostrazione algebrica 

 diretta, conviene per brevità ed eleganza usare un artificioso metodo simbolico. 



Sia w x , w 2 , ... , » r una serie di r numeri interi positivi, zero escluso, tra loro 

 differenti e disposti in ordine crescente. Essendo u lt u ìf ...,Ui interi positivi, zero 

 incluso, soddisfacenti alla sola restrizione 



u 1 -\~ 2m 2 -4- . . . + *«« — J \ 

 si rappresenti con N(n lt w 8 , n r \ ...,u t ) il numero, eventualmente anche 



