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GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



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nullo, degli intergruppi p) costituiti da i numeri appartenenti alla serie n x , n 2ì ... , n,. 

 e soddisfacenti alla condizione che di questi i numeri vi sono 



«j numeri non consecutivi, 



i/ 2 coppie di numeri consecutivi, 



Ut gruppi di i numeri consecutivi. 

 Per brevità è utile porre 



L,.(«i, « 2 , n,.\ i) = 'L u N(?i 1 , n 2 , n,.\ u lì ,u 2 , ... , u,)xix£ ... x? , 



dove la sommatoria è estesa a tutti i valori interi, zero incluso, delle 1*1,1*3, 

 per cui risulta 



Ui 4- 2f* s -f- • • • "f" '*< = 1 1 



e dove X\ , x 2 , ... , a*, sono t variabili indipendenti. 

 Per convenzione è poi L r (w x , n 2 , w,. ; 0) = 1. 



Inoltre si scriverà semplicemente L(m;t) in luogo di L nl (1, 2, ... , m ; i), onde 

 X, (>« ; 0) = 1 , anche per m = 0. 



Supposto w > i, da queste definizioni risulta l'identità: 



L(m;i) = S L(m; m) L m _ u _i(« + 2, w + 3, . . ., m; i — u) , 



u=0 



onde, essendo 



L(0;0) = 1, L(«;t*) = a?„ (« = 1, 2, »), 



!/„_„(«+ 1, u + . . .,?n; i — a) = L{m—u; i — u) (u = 1, 2, ... , t — 1), 

 si ottiene per w > i la forinola 



(39) i) = L(m — 1; t) + ^(w — 2; i — 1) -f ... -4- L (m — i : 1) -fa;,-. 



Applicando ripetutamente la (39), per m _ i si conclude : 



(40) L(»»;«)=7 J — : — j 77 ... ri-xi'xr ... Xi , 



V 7 _J.< il,! « 2 ! ...Ui\(m — 1 + M 2 — ... —Mi)! 



dove la sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi e nulli delle u 1 ,u 2 , ...,u,, 

 per cui 



u x -f- 2u 2 + . . . + iiti= i, «1 4" • • • ~f~ M < ■ - m — * 4" 1- 

 Si ponga ora 



L(m, m'; i) = L m+m - (1, 2, ... , m, m + 2, m 4-3, m + m' -f 1; l"). 

 Dalla definizione si trae l'identità : 



ami 



(41) L (m, m'\ i) = v L (m ; u) L (m ; t — a) , 



(') Qui tptrgmppo significa gruppo di gruppi. 



