65 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATIVO, ECC. 497 



la quale, associata alla (39), dà per m>i la forinola ricorrente: 



(42) L{m,m';i) = L(m— 1, w';i) -f ^(m— 2, m';i—l) +•••+■ r t ^L{m—i,m'; 1) -far,. 



Tenendo conto di questa forinola (42) e della proprietà che nella funzione 

 L[m, m';i) si possono scambiare tra loro m, m', ossia che L(m, m'; i) = L(m', m; i), 

 si può subito scrivere: 



L{m,m';i) = L{m',m — 1; Q + XiL(m',m— 2; i — 1) -f- ... + x t _ x L{m', m — i; 1) + a\ . 



Ammesse vere le formolo 



L(i' — 1, m; i') = L(i', tn — 1 ; ?') = ... = L(m — 1, i'; i') = L(m, i'; »'), 



dove è 1 <i'<i, dalla relazione precedente segue: 



L(m, m'; i) = L(m'-\- l,m — 1; i) = L(m — 1, m'-j-l; i) , 



purché risultino m>i, m'>i — 1; ossia vale la forinola: 



(43) L(m,«i';t) = L(i»+l,m'— 1;»), 



essendo m> i, m'>i — 1. 



Applicando ripetutamente questa forinola (43) si conclude: 



(44) L(i — 1 , m; i) = L (i, m — 1; i) = ... = L(m — 1, i; i) — L(m, i— 1; i) , 

 dove è m > i. 



È facile osservare che questa formola (44) è completamente dimostrata, essendo 

 lecito averla ammessa vera, quando si pensi 1, 2, i — 1, perchè la (44) è evi- 

 dente per i=l. Quindi in virtù di queste uguaglianze si potrà indicare brevemente 

 con L'(m-\-i — l;i) la funzione, che è identicamente uguale alle funzioni L(i — l,m;i), 

 L{i,m — 1; 1), ecc. considerate nella (44). 



Supposto m>i — 1, m'>i — 1, dalla definizione si trae subito l'identità: 



L(m + w'-f- 1; i) = L m +,„'(1, 2, . . . , m, m-j-2, m + 3, . . ., m + m'4- 1; i) + 



t< = » D=tl — 1 



' '+ E D L u (m — a-\-v-\-2,m — u-\- v -4-3, . . . , m-\-v -4- 1 ; «) • 



U=l !)=0 



. L m+m '_„_i (1, 2, . . . , m — w -4- r, /« -4- 1> + 3, m -j- i> + 4, . . . , m + >w'+ 1 ; i — ?<) 

 onde, essendo 



L u (m — u-\-v-\-2, m — «-f-y-j-3, . . . , m-\-v-\-l ; m) = x a 



(u = l,2, » = 0, 1, u — 1), 



L m+m i(l, 2, . . ., m, m-f- 2, w-f-3, . . . , m+ w'-f- 1 ; i) = L'(m-\-m'; i) , 



L fflTM _ M _i(l,2,.,.,m — »4-!),m4/»-(-3,m-)-i)-|-4,... ) »i4-m'4-l;i- u)=L'{m-\-m' — u — l;i — u) 



(«=1, 2, i; r = 0, 1, i<), 



segue per m>i — 1, m'>i — 1 la formola: 



Serie li. Tom LIX. • m 2 



