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GIOVANNI ZENO GIAliBEI.LI 



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Tenendo conto della (42) questa forinola diventa: 



(45) L(t*+m'-f 2; = L'(m-\- in; i) + 2x 1 L'(m + m'— 1; i— 1)'+ ... 



...4-ii,. 1 L'(m T) n'-i-fl; 1) + (»+ 1)**', 



dove è w > i — 1 , in' > i — 1 . 



Associando a questa forinola la (42), si trae: 



L(m- \-m' 4-2;i)= SÌ («»; r) L()«'; i — f) 4- v v (,„ _ ì(; r ) £ (»;'; i — u — v) = 



v=0 _ u=l »=» 



1=1 u=f 



= S [£(*» ; t) + S (w + l)a-„L(»t — u; t — n) ] . L(m': i — t), 



1=0 11 = 1 



dove è m>i — 1, m!>i — 1. onde, essendo in virtù della (40) 



"=' m _:_ 2 



L(m ; t) -\~ £ (tt + l)*,, L{m—u;t — u) = — — —r _ L(>» + 1 ; ; 

 u=i — »~r« 



si conclude che per tw>i — 1, m'>i — 1 vale la forinola 



(46) L (w + m'+ 2 ; i) = (m + 2) £ w _' < + 2 - L (m -rl;t)L (m'; i-t). 

 Eseguendo l'operazione 



ut ! m 2 ! ... m<! day» day;: ... d.r,"< 



sopra entrambi i membri della (46) ed applicando la (40). si ottiene la (XXIV) c. v. d. 



Essendo il metodo funzionale di Cayley indipendente dal metodo di degenera- 

 zione lineare, conviene indicare con ]n,p,r: s;i[ la condizione (n, p, r; s; i), quando 

 si applica il metodo funzionale di Cayley invece del metodo di degenerazione lineare. 



Il metodo funzionale di Cayley, come è noto, consiste nel sostituire ad una 

 curva generica di ordine m-\-m' e di genere p-\-p' — 1 appartenente ad S r (essendo 

 però in, m', p, p' interi convenienti) l' insieme di due curve generiche appartenenti 

 ad S,. situate in posizione generica (e quindi aventi nessun punto in comune) l'una 

 di ordine m e genere p, l'altra di ordine ni e genere p' . Perciò segue che la con- 

 dizione )n,p,r; s;i[ soddisfa all'equazione funzionale 



(XXV) \n + n',p-\-p' — 1, r; s; i[ = )n,p, r; s;i\-\- )n,p, r; s; i — 1 ( n',p', r; s; 1 1 + 

 + ... + !«,;;, r\ s; 1 ()«',;/, r; s; i— 1 | + )n',p. r:s;i[ . 



Siccome questa equazione funzionale non dipende da /• e da s, si potrà (in modo 

 analogo a quanto si è fatto nel § . r > rispetto al simbolo (n, p, r; s ; i)) scrivere sem- 

 plicemente )n,p;i[ in luogo di )n,p,r;s;i{. Quindi l'equazione funzionale (XXV) 

 diventa: 



(XXV) !» + «', p+p'- l ;i < = }n,p;H + \n,p;i-ll) n' . p<; 1 {+• 



±... + )n,p;l\ln', p': i-1 1 -f )n'.p';i{ ; 



