67 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATELO, ECC. 499 



la quale equazione funzionale si ammetterà vera qualunque siano gli interi positivi, 

 negativi, zero incluso, n,n',p,p', introducendo (come si è fatto nel § 5 per le for- 

 inole fondamentali (I), (II)) il concetto di curve virtuali di ordine e genere qualunque. 



Teorema XXXII. — " La condizione (n, p ; i) definita dalle formole ricorrenti (I), (II) 

 e dalla relazione (i, 0; i) = tt^s) soddisfa all'equazione funzionale 



(XXVI) (n + p+p'-l ; i) = (n, p; i) + (*, j>? »— 1) « p';l) + 



+ • • • + (n,p; !)(»', i — 1)4- «!>';*)> 



dove n, n', p', p' sono interi positivi negativi zero incluso „. 



È utile anzitutto porre per convenzione (n,p; 0) = 1 ; e si comincierà a dimo- 

 strare che il secondo membro della (XXVI) non varia, quando p — p'= 0, finche 

 risulta costante la somma n-j- n'; siccome questa proprietà è evidente per i = l, è 

 lecito nella dimostrazione fare l'ipotesi che risulti vera quando si pensi 1,2,...,» — 1 

 invece di i. 



Dalla (I) segue l'identità: 



"£ («fi, 0; u)(n', 0; i— ti) = JjT if tt,(s) (n— v, ; »— ») (n', 0; » — «*) = 



u=0 u=0 i=0 



= 2 5' tt, (*)(n— r. 0; u— v)(n', 0; t— »t) (*) , 

 onde per la relazione 



tt=l u=i 



H (n — 0; w. — f)(n', 0; » — u) = £ (»j 0; » — — v > 0; « — *>) 



u—v u=v 



(la quale per t' = è una identità e per v > 0. è una conseguenza dell'ipotesi fatta 

 sopra) si trae: 



E (rc+1, 0; «)(«', 0; < — «) = E £ tt„( s )( w > * — ?/)(n' — », 0; m — v) , 



• u=0 »=0 u=0 



ossia per la (I): 



(47) £ (n41, 0; u) {n', 0; *'— u) = 23 (n, 0; u) (n'+l, 0; i—u) . 



u=n u=0 



Applic'àndo ripetutamente la (46) risulta dimostrato che il secondo membro 

 della (XXVI) non varia, quando p=p'=0, finché risulta costante la somma n-{-n'. 

 Per mezzo di questa proprietà si può ora dimostrare che vale la (XXVI) per 



Se è n > i + 1, n'>i — 1, risulta subito dimostrata la (XXVI) per p=l, p'=0, 

 perchè, supposto m>i — 1, m'>i— 1, si hanno le relazioni: 



[™ + m'+ 2, 0; ») - Yj „,-t+2 (m + *' 0; 0; 1 ~ 



1=0 



quando si applicano la (III) e la (XXIV), 



(w + 2,l;<)= w * + ^ 8 -(w + l,0;0 (^ = 0,1, ...,»), 



quando si applicano la (III) e la (III) lt oppure la (XXI). 



(') Si ricordi che per convenzione ir (*) = J.1 



