,',01 1 GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 68 



Conviene ora dimostrare la forinola 



(48) E (« + 1, 1 ; u) (»', 0; * - u) = E 1 ; «) (w'+ 1, 0; t— u) . 

 Dalla (II) segue l'identità : 



E (» + 1 , 1 : m) ("'• 0; ♦— «) = E £ (<> + 1 ) (s) (fi — r — 1, 0; u — v) « 0; i — u) 



«=o «=o »=o 



onde, siccome per la (47) è 



V („ _r — 1. ;« — !•)(«', 0; i — u)= E (« — tf— 2, 0; m— »)(n'+l, 0; i — u) 



(t = o, i — . o, 



si trae: 



E* (n+l, 1: «)(«', 0;i— «) = E V £(v-{-l)n v (s){ìi—v — 2,0;u — v)(n'-\-l,Q;i—u), 



u= u=0 r=0 



ossia la (48) qualora si tenga conto della (II). . 



Applicando ripetutamente la (48) si conclude che la (XXVI) per p = 1, p'=0 è 

 dimostrata non solo se è n>i-\- 1, n'>i — 1, ma anche se n, n' sono interi (positivi, 

 negativi, zero incluso) qualunque soddisfacenti alla sola disuguaglianza n -\-n'> 2i. 



Volendo ora dimostrare la (XXVI) per^)=l, p'—0 quando n, n' sono interi 

 affatto arbitrarli (positivi, negativi, zero incluso), è lecito ammettere che essa per 

 p=l, p'=0 è vera, quando si pensi 1, 2, — 1 invece di i (perchè la (XXVI) 

 è evidente per p = l, p'=0, i=l). Perciò, tenendo conto di questa ipotesi e delle 

 relazioni (conseguenze immediate della (I)) 



{n + n'—l, 0; i) = (n + 0; ») — E* tt,(s) (n 4- «'— r — 1,0; » — f) , 



(n — 1, l; u) = (», 1; m) — E tt, (s)(« — » — 1, 1; u — v) 



( M =1.2,...,*). 



si conclude l'identità: 



(49) (n + w'-l, 0; i) = (*-}-♦»', 0; l) + E* («— 1, 1; (*)(*', 0; i—u) — E(»,l;u)(w',0;»— «). 



Applicando ripetutamente questa identità (49) e ricordando che si è già dimo- 

 strata la (XXVI) per p=l, p'= 0, quando gli interi n, n' soddisfacevano alla disu- 

 guaglianza «4~«'>2i, si conclude che la (XXVI) per p= 1, p' = 0, vale in qua- 

 lunque caso. 



Senza far uso di alcun concetto geometrico si trova subito che la (XXVI) per i— 1 

 è evidente qualunque siano p, p'; quindi nula dimostrazione della (XXVI) per i > 1 

 è lecito ammettere che essa è vera quando si pensi 1, 2, i — 1 invece di i. Tenendo 

 conto di questa ipotesi, per mezzo della (II) si conclude l'identità: 



(50) (n + n\ p -f|»'— 1; i) — (n + ti'- 2, p 4 p'— 2;i) = 

 = E (n f f»;«)(n r ,|/;i— — E(«— 2,p— l;u) (»',!>';*— «). 



