69 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATI VO, ECC. 501 



Siccome si è dimostrata sopra la (XXVI) per p = 1, p' = l, in virtù della ripe- 

 tuta applicazione della (50) si conclude che la (XXVI) è dimostrata in qualunque caso. 

 E utile qui e nel seguito porre per convenzione {n, p; \ = 1. 



Teorema XXXIII. — " Essendo n , n x , n s q — }— 1 interi qualunque (positivi, 

 negativi, zero incluso), si ponga per brevità 



(51) j«o. «li -, n q ; 0; Ì| = S }n , 0; U Q \ \n u 0; m, | . . . )n q , 0; t*,{, 



aWe Za sommatoria è estesa a tutti i valori interi positivi (zero incluso) delle u , u x , u„ 

 la cui somma è uguale a i. 



'Ammessa vera l'equazione funzionale (XXV) per p>0, p'=0, risulta come conse- 

 guenza che 



\n , n u . . ., n q ; 0; i\ 

 non muta al variare delle n , n x , n 4 , finché risulta costante la somma 



w + »i + • • • 4- n i » • 



Questo teorema XXXIII risulterà completamente dimostrato, se si dimosti'a 

 l'identità 



(52) )n , n u .... n q \ 0; i{==J« 'i • • -, »/? 0; tj, 



dove n , n x , n q , n ', n q ' sono interi qualunque (positivi, negativi, zero incluso) 



soddisfacenti alla sola restrizione 



Conviene anzitutto dimostrare la (52) nel caso particolare q — 1, ossia l'identità 



(53) )«o, »i5 0; *(,= )»</, n/; 0; i!. 



Tenendo solo conto dell'equazione funzionale (XXV) per p — l, p'=0, si 

 dimostra subito l'identità (53), quando è i = 1 ; quindi nella dimostrazione della (53) 

 per i> 1 è lecito ammettere vera la (53), quando si pensi 1, 2, i- — 1 invece di i. 



Essendo n , n u n ', w/, m interi (positivi, negativi, zero incluso) qualunque, tali 

 .che risulti n + n x — n ' -f- dall'equazione funzionale (XXV) per p = 1, p' — 

 segue l'identità 



U=t U=l 



S ) -f- m, 1 ; i — u\ )n Q , 0; w( = E +»», 1 ; i — ì |w ', 0; u\ 

 e quindi: 



E ! « . ?h ; ; w ! ( m, 1 ; t — t< ì = E 1 w ', n\; ; M S ) m, 1 ; i — « }. 



u=0 u=0 



In virtù dell'ipotesi fatta sopra che la (53) risulti vera, quando si pensi 1, 2, i — 1 

 invece di i si deduce: 



)n . » t ; 0; u[ = )n ', n x ' ; 0; u{ 



(» = 1, 2, .. . , i= 1); 



onde si trae subito la (53) c. v. d. 



