71 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATIVO, ECC. 503 



Se è p' < 0, per l'ipotesi fatta vale la relazione : 



)n + ri, p^p'-l- i[^'±)n + n", p — 1; u\ )n' — n", p' 4- 1 ; i - ul 

 e siccome è 



v=u 



)n-\-n", p— 1; u\ — ^)n, p\ v[)n", 0; u — vl, 



v=0 



sostituendo segue: 



)n + ri, p fi>' — 1; i|=L (E)»' — n", jp'4-1; i — «()«", 0; «— d) |w, *>; »{. 



V=0 U=l> 



ossia: 



)« 4-n', ^ + / — 1 ; »{ = g {«, p; t>{ ) w ', i — vi c. v. d. 



Teorema XXXV. — " La condizione jn,p;i( definita dall'equazione funzionale (XXV) 

 e dalle relazioni 



)i, 0; i[ = TT< (s) , )i 4- 1, 0; if ="£ , tt !1 (s)it,_, 1 ( 5 ), 



u=0 



soddisfa alle forinole ricorrenti fondamentali 



(XXVII) | M,j»;«| = )n-l,p; i\ 4- j« r _2,j>; •— lj Wl (t)4-.,.+ )«— lj n^sj-f tt,(s), 



(XXVIII) |», p; »( = }» — 2, p — l;if + 2)» — 3, p — 1; i - 1 j tt^s) 4- . . . 4- 



+ i)n-i—\, p-l; l\ltU& + 1ì + tM*) ■ ■ 



Si chiami per brevità (XXVII) la formola ricorrente (XXVII), quando si faccia p=0. 

 Conviene anzitutto osservare che, essendo 



>1, 0; 11 = 11,00, )2, 0; 1; = 2tt 1 (s), 



dall'equazione funzionale (XXV) per £=1, si ottiene subito la (XXVII) per i=l; 

 inoltre dalle relazioni 



j i, ; i } = TT,(s) , [ £ 4- 1, ; t } = £ ir tt (s) jt,_ b (s) 



$> u=0 



segue subito la (XXVII) per w = £4-l. 



Quindi per dimostrare la (XXVII) per i>l, »>i 4-l è lecito ammettere che 

 la (XXVII) risulti vera 



sia quando si pensi 1, 2, i — l invece di i, 

 sia quando si pensi n — 1 invece di n. 



Per l'ipotesi fatta seguono le relazioni: 



V—U 



| », ; u } — £ ; « — 1 — v, ; u — v ! TT,,(s) 



(« = 1, 2, i-1). 

 )« — 1, 0; u\ = jÌ)n — 2 — v, 0; — »(tt b («) 



(u -—1, 2, e), 



