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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE NUMERATIVO, ECC. 



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Si chiami per brevità (XXVIII)! la forinola ricorrente (XXVIII), quando si 

 faccia p = 1. 



Conviene osservare subito che dall'equazione funzionale (XXV)peri=l si trae 

 la (XXVIII)! per i = l, quindi nella dimostrazione della (XXVIII)i per i>l è lecito 

 ammettere che la (XXVIII)i risulti vera, quando si pensi 1, 2, i — 1 invece di i. 



Avendo già dimostrata la (XXVII) , si conclude )n, 0; i\ = (n, 0; i); perciò le 

 formolo, che sono immediata conseguenza della (I), quando sia p — 0, come p. es. 

 la (III)o , si mutano in formole relative al simbolo )n, 0; i\; quindi, tenendo conto 

 anche della (XXIV), si trae: 



i=t 



(55) + < 0; *'(=^~ ' n_ l > 0; 0; ,i — *È» 



1=0 



dove è n>i-\-l, n'>i — 1. 



Per l'ipotesi fatta che la (XXVIII)i risulti vera quando si pensi 1, 2, i — 1 

 invece di i si deduce: 



)n, i; t{ = {n, i; t) (t=l, 2, i— 1), 



onde al simbolo )n, 1; t{ (t = 1, 2, i — 1), considerato come simbolo («, 1; t), 

 si possono applicare le formole, che sono immediata conseguenza della (II) per p = \, 

 come p. es. la (III)i. Quindi tenendo conto anche della (III) si trae facilmente: 



[». li M^jzri»-— i, M (< = i,2, ..... i-i) 



e la formola (55) diventa: 



<=i— 1 



+ 0; i} = -^j»-l, 0; il+^i», 1; t\ \ri, 0; i — 1[ . 



1 = 



In virtù dell'equazione funzionale 



)n + n', 0; »( = L)n, 1; *| j»', 0; i — *f 



si ottieni: 



K *!== 7^17 !» °; 



ossia, tenendo conto anche della (XXVII) , segue la (XXVIII)!, quando è w>t-f-l c. v. d. 



Nella dimostrazione della (XXVIII)i per n < i è ora lecito ammettere che essa 

 risulti vera 



sia quando si pensi n -f- 1 invece di n, 



sia quando si pensi 1, 2, i — 1 invece di i, pur essendo n qualunque (perchè, 



come si è osservato sopra, la (XXVlII)i per i == 1 è conseguenza immediata della 

 equazione funzionale (XXV) per i = 1). 



Dall'equazione funzionale (XXV) segue l'identità: 



£)jt, 1; *( + 0; » — *( = £)» + 1, 1; t\ \n', 0; i— t\, 



t=0 1=0 



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