Memori», IV. 



Sopra gli sviluppi in serie multiple di funzioni ortogonali 

 Nota di CARLO SEYERINI 



.Mi propongo di estendere agii sviluppi in serie multiple di funzioni ortogonali un 

 teorema , che panni notevole , da me stabilito nel caso di serie semplici (**). Per brevità 

 mi limito agii sviluppi in seiie d()ppie di funzioni ortogonali, che dipendono da una sola 

 variabile: considei'azioni analoghe posson»; fai'si in ogni alti'o caso. 



1 . Siano : 



(1) 0\A^v) (//= 1, L' ^) 



i2) V, (y) (/e = 1,2 X) 



due successioni inlinite, che poti'ebbei'o anche coincidere, di funzi(jni delle vaiiabili reali 

 .V ed \', definite rispettix'anvnte negli intei valli (ìniti (it, 0), {e, lì), sommabili insieme ai 

 loi'o quadiati, e tali che si abbia : 



se /;/ = lì 

 se m = lì , 



se ìli === // 

 se ìli lì , 



ove p {.v) e q iy) sono due funzioni determinate per ciascuna coppia di successioni (1) 

 e (2), misurabili, limitate ed aventi entrambe un limite inferiore maggiore di zero. 



Nel rettangolo R limitato dalle rette .v=a, x — h, y=.c, y — d sia data una fun- 

 zione f{x, y) sommabile insieme al suo quadrato, (***) tale che se esistono soluzioni ef- 

 fettive (che non siano cioè ad integrale nullo) delle eciuazioni ; 



/■" 



(3) / p (x) e (.V) U„ (x) dx = {lì = 1, 2, . . . , 30 ) 



(4) / </ (,v) q (y) F, iy) dy^O {k -■= 1, 2, ... , 



(«•) Comunicata all' AccadL'mia nella seduta del i| Gennaio 191 1. 



(«•«) Cfr. negli Atti di questa Accademia (Serie 5*, Voi. Ili) le due Memorie: Solva gli sviluppi in serie 

 di fim:(^ioiìi oito<roiiaìi e Sulle siu'cfssluni di jiinxioui oi tnociiidli. 



(*"■*; Ove la / i.v, vi tosse delinita s jltmt ) nei punti di un iuiienie (di nnsura superliciale nun nulla) 

 contenuto in A', si considererebbe la lun/.ione, che coincide con essa nei punti di tale insieme, ed è nulla in 

 Ogni altro punto di R. 



p (.V) U,„ (x) V„ ix) dx = 



rd 



q (y) V,„ (v) V„ (V) dy = 



Ani A<;(;. Si iui-. V. Voi.. IV. .W.-m. 



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