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Carlo Se-verini 



[Memoria IV.] 



si abbia, per ognuna di queste soluzitjni : 



r 



(5) / p ix) f (,r, v) e ix) dx = , 



per ogni y, per cui la f{x, y) e linearmente integiabile rispetto ad x, ed analogamente : 



(6) / q (yì f (x,y) -q (y) dy = 0, 



J e 



per ooiii x, per cui la f{x, y) è linearmente integrabile rispetto ad v (*). 

 2. Giova pei' il seguito fare alcune osservazioni. 



È facile anzitutto vedere che se cp (.v) è una funzione sommabile nell' intervallo {a, b) 

 la funzione <I> (.r, y), definita nel campo A' mediante !' eguaglianza (.v, v) = ^ {x)^ è ivi 

 del pari sommabile. Riferendoci per la determinazione della misura degf insiemi di punti 

 nel piano [x, y) al sistema dei rettangoli di dett(j piano, anziché al sistema dei triangoli (**), 

 il che è evidentemente pei'messo detti a e iii due numei'i qualsivogliano, è chiaro che 



possiamo scrivere : 



(7) ///,. j E [a < 0) (.V, V) < fi) { {d — c) ni \ E | a < cp (.r) < pj | 



Analogamente, indicando con C,, E [a << (1) (.r, v) << fi] l'insieme complementare di 

 E [a << (I) (A", 3') <; [i] rispetto ad R e C(.)n Qa, b) ii [a << cp (.v) <i\>\ 1' insieme complemen- 

 tare di E f« <C 'f (.v) •< PJ rispetto ad (e/, abbiamo: 



///,. I C;, E [a < c[) (.r, V) < pJ ( ^ (r/ — r) /;/ | Q,,, ^ |« < cp (.r) < pj j ; 

 e dall' eguaglianza : 



; E [a < <5 (X, V) < p] j in (i?) - j C,. E [a < (1> {x,y) < pJ | 

 segue pertanto : 



• i ii L« < (-v,3') < W i ^ (^^ - c) \^b - a - m } C,„.,, [a < cp (.v) < pJ | 



cioè : 



(8) ■ } E [a < (D (.V, y) < p] | ^ (rf - c) m | ^ < cp (.v) < pJ \ 



(*) Ricordiamo clie la / (.v, )') può non essere linearmente integrabile rispetto ad una delle variabili sol- 

 tanto per valori dell'altra variabile appartenenti ad un insieme di misura nulla (Ctr. Fubini : Sugli integrali 

 multipli; Rendic. della R. Acc. dei Lincei 1907). 



(*-*) Cfr. Lebesquh : Integrale, Longuer, Stre ; Annali di Matematica, 1902. 



(***) Cfr. FuBiNi : 1. c. ó 3. 



