Sopra gli sviluppi in serie iiiuìtiple di ftiiisioni ortogonali 3 



Risulta così, a causa della (7) e della (8), che l'insieme E (-■i^3^)<[j] « 



surabile, e si ha : 



(9) /// j E [a < (I) (.r,.\') < p] \=^(d c) ni \ E \a < rp (.v) < [i| | 



Stabilito in tal modo che la <I) (a*, y) è nel campo R misurabile, dalla dehnizione stessa 

 d' integrale (*) segue che è anche sommabile. 



Analogamente si ragiona partendo da una funzione della sola variabile y, sommabile 

 neir intervallo (r, d). 



Un alti'o Insultato, del qu;ile avremo più volte occasione di sei'virci , e che conviene 

 pertanto ricordale, è il seguente : 



Se le fiiiizioiii In (x) (ii 1, 2 , co), som iiiah/l / in mi iiileriuillu /ìu/ln (a, b), 



teiidoio, in ojj,/// piiìitn di Itili' iiih'ì'Vtillu, iid un limile l'(x) drlciiniiuil o r //nilo, 

 colla condizioììc : 



fu (-V) 



{**) 



ajjiiulic la l'ix) sia in (a, b) sninnuih/ic, è lìecessa rio e s/i/'/ic/cnle clic es/sh/ una 

 qucintità posiliiHi, Jinila Al, per la quale risulti : 













fi 



f„ (.V) 



M 



(n = 1. 2,. . 





a 



Questo teorema si trova dimostrato nella mia Memoria Sulle /unzioni sonimahili 

 (§ 1), inserita negli Atti di questa Accademia {***). 



Un teorema analogo vale per funzioni di piti variabili, e si dimostra nello stesso modo. 



3. Ciò posto, per ogni y pel quale la /(a:, y), è, insieme al suo quadi'ato, linearmente 

 integrabile rispetto ad .\\ consideriamo la serie : 



X 



I 



che, per ogni _\' C(.)si fatto, suppori'emo convergente in tutti i punti dell' intervallo {a, b). " 



Dal teorema stabilito nelle due Memorie, che abbiamo in principio citato, segue allora 

 che per ogni y fisso, soggetto alla condizione dianzi detta, la (iO) rappresenta, in tutti i 

 punti di {a, b), fatta al più eccezione per quelli di un insieme di misura nulla, la funzione 

 data f (.V, y). 



Considerando i coefficienti A,; (y) della (10), tr(.)Viamo che essi sono funzi(_»ni di v, 



(*) Cfr. LkBEsQUK : I. c. 



(*-*) PossoiKi L'videntcmcnti; fare tccc/ionc i pLinti di un insieme di mibura null.i 

 {***) Serie -I'', Voi. XX (iqoy). 



