Carlo Severini 



[Memoria IV.] 



sommabili nell" intervallo (e, d), giacché le funzioni p (x). f {.v, y).Uh (x) sono sommabili 

 nel campo i?. Per vedere ciò indichiamo con /„ (.v, v) (// = 1, c>c) una funzione 



eguale ad f (.v, y) nei punti di R, ove — ìi^f{x, y) ^ -j- //, e nulla in ogni altro pun- 

 to ; analogamente con Un, „ (x) uiìa funzione eguale ad Uh {x) nei punti di [a, h) , ove 

 — n^Uh (x) ^ ~f- //, e nulla in ogni altro punto. Le funzioni p [x). f„ {x, y).L\n {x), 

 al ci'escere di tendono nel campo a p {x).f (x, y).Un {x), e soddisfano alla disu- 

 guaglianza : 



I p (A-)fn (■r,y) U,,„ (X) \^\p i.y)rix,y) U„ {x) | 



(;/= 1,1',. . X). 



Basterà perciò verificare (§ prec.) che esiste una quantità positiva, (inita M, per la quale 

 si ha, indicando con do l'elemento d' ai'ea di R: 



\^ I p {x)J,-, {x,y) Un.., (x) I do^3f 



[u = 1,2, 



'X) 



Ora abbiamo : (*) 



p {x)f„ (.r, V) Ui,.„ (X) I do= i" dx ì" \ p \x)f„ {x,yì U/„„ (x) 1 dy 



donde, applicando al secondo membi'O la disuguaglianza di Sclmars : 

 \^ I P i-^ìA (x',y U„,„ (X) I doj ^ [p (x)Y ^U,,„ (xìjdx.f' [ I /„ {x,y) I dy 



dx. 



D' alti'a pai'le per la stessa disuguaglianza di Sc/rwars : 



dv 



(d — c) j'' [/„ {x,y) 



dy , 



sicché risulta : 



[/^l/'Gv)/-,, {x,y)U, 



X) do 



(d- c) j''[p {x)f 



U,.„ (x) 



•i ri) fJ i 



dx.j dx 1^ /„ {x,y) dy, 



ed a maggior ragione : 



pixifjxx) U„,„(x} do 



'< ([ìpivìf [U, {x)Jdx. f'dx ljf{xy)fdy, 



(;? =- 1, J, . . . ., 00) 



che è quanto occorre al nostro scopo. 



(«■) Clr. FuBiNi, 1. c. 



