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Analogamente, essendo le Aj,., „ (y) (// — 1, 2,..., co) costruite per ogni Ah (v) come 

 dianzi le Uh, « {.v) per Uh (.v), si li-ova ; 



l''[A„,Ay)J'h-^ I (.V) I'-' \^UA-v)f d.v.j'' dy l'\r {.v, y)Y d.v (// z= 1, L', ) 



e però, insieme colle Ah (>'), sono sommabili neil' intervallo [e, d) i loi-(j quadrati. 



Di più, se esistono soluzioni effettive ~q (y) delle equazioni integrali (4), a causa della 

 (6), si ha per ognuna di tali soluzioni : 



j''d.v j''p (.V) U, i.v) q {y)f {x,y) (y) dy = (/i=l,2,... ,oo ) 



e quindi, essendo la t'unzione p[x).Uh {x). q {y). f {x, y). {y) sommabile nel campo i?, 

 come si vede con considerazioni analoghe a quelle dianzi svolte per la p (x). f {x, y).Uh (v) : 



^/\' l' p (X) Uu [xì q (V) (.V, V) -q (V) dx = {h=l,2,....,^) 



ossia : 



/ q ( V) iy) A„ (y) dy = ( // 1, 2, . . . ., oo ) 



C è luogo pertanto (*) a considerare, per ognuna delle Ah iy), lo sviluppo in serie di 

 funzioni Vk (v), e sarà, fatta al più eccezione per i valori di y appartenenti ad un insieme 

 Gh di misura nulla : 



(11) A~ iy) = y B;,,„, V,, (v) , 5;,., = \\ìy |" p (x) q (v)f{x, yi U, {x) V, (y) dx , 



1 



se, la serie -^/f Bh, a- Vìc ( v) converge nell' intervallo (r, d). 



Giova qui notare che la funzione p [x). q [y). f {x , y). Uh [x). Vjc (y) è, come si può 

 vedere nel solito modo, sommabile nel campo R, e però nel calcolo dei coefficienti Bh,k non 

 ha importanza 1' oidine, col quale si eseguono le due integi'azioni. 



Sostituiamo nella (10) al posto dei coefficienti Ah (v) i loro sviluppi (11), ed ammet- 



tiamo che la sei'ie doppia ^7, Bh,k Uh (.v) II- (\') converga in ogni punto di R. Pei- tutti 



II 



i valori di _\' neir intervallo (r, d) esclusi al più quelli di lui insieme di misura nulla (co- 

 stituito dai valori che apparten,t;(jno ad uno degl" insiemi Gn (// = l, 2,..., c>o) e da c|uelli 

 pei quali la /' (.r, v) od il suo quadrato possono non essere linearmente integrabili rispetto 

 ad x) risulta allr)ra : 



Xi 'X 



(12) f{x,v) y B,j, U,Xx) V,iy), Bi,,nM '' dy \'' p [x) q \y) f (x. v) U, {x) V,{y) dx 



1 1 



in tutti i punti dell'intervallo ir/. A), fatta ancora al più eccezione per quelli di un insieme 

 di misura nulla, che può variare al variare di \'. 



(*) Cfr. le mie memorie sopra cit.itc. 



