6 



Carlo Severini 



[Memoria IV.] 



E chiaro che scanihiandi) in quanto è stato dianzi detto la variabile x C(jlla variabile j', 

 non viene per questo a mutare lo sviluppo tinaie (11!;, a cui siamo airivati, e si può quindi 

 anclie dire che per tutti i valori di .\" in '(t, />), esclusi al più quelli di un insieme di mi- 

 sura nulla , sussiste nell' intervallo (t\ e/), fatta ancora al più eccezione per i punti di un 

 insieme di misura nulla, che può variare con l'uguaglianza (llM. 



4. Vogliamo ora mostrale che V insieme G dei punti di nei quali n(jn ha luogo 

 la (12) è di misura (superficiale) nulla. 



.Scelti a tal' uopo i numeri positivi a^, a,,..., a,,,... in modo che si abbia : a,; >> a„ ^ j 

 Un a„ =0, indicando con f?, l'insiemi dei pun'ti ove: 



ed in generale con Gn i' insieme dei punti ove : 



/(.r,v) - V ^ 



Bu,: Ui. [X) Vn (y) ^ a,, (;/ = 2, 3,...., » ) 



r insieme G risulta eguale alla somma degl' insiemi G^j, G,-,,.., 6^,,,...., e ciò prova intanto 

 che G e misui'abile. Per vedere che la sua misura è nulla chiamiamo con '|i (.r, v) una 

 funzione eguale ad 1 nei punti di G e nulla in ogni altro punto di R. Abbiami; alhjra 



/// 



[G) = f' dv j '\> (x,y) dx, 



e poiché, fatta al più eccezione per i valori di v appartenenti ad un insieme di misura 

 nulla (§ 3) : 



'1^ (.v,_\') ^.v , 



j II. 



risulta : 



(G) = cìy j'^ {x,y) dx 



0. 



X X 



V \' 



5. Si può aggiungei'e che la convergenza della serie '-'ti -j/,- Bh,k U?i i^v) Vk (y) verso 



11 



f {x, y) è uniforme, se si escludono i punti di un insieme, la cui misura è minore di una 

 quantità positiva t, arbitrariamente scelta. 



Fissati due valori //j, di //, k e due numeri interi positivi p, g, s' indichi con 



^h^ + p, k^ + q l'insieme dei punti di nei quali si ha: 



essendo una quantità positiva, piccola ad arbitrio ; e con Ej^^^ j,^ l'insieme misurabile dei 

 punti comuni agl'insiemi ^b^j^p, ìi^ + q, 'J'''*^ P Q possono assumere, l'uno indipendentemente 



