Sopra ^1/ sviluppi in serie uni/li p/c di fan: ioni orlagoìKili 



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dall'altro, tutti i valori inieii, positivi. Si considerliKi dopo ciò due successioni, crescenti, 

 di numeri intei'i positivi //p //o,..., //,,....; A'j, A'.,,..., A',,... 

 L' insieme misurabile : 



(13) E,,^j,^ + {E,,^^,,^ - E,,^j,^) -h (Ej,,^j:, - Ej,^j,^ + 



contiene l'insieme dei punti ove sussiste la (111), la cui misura, come sopra è stato di- 

 mostrato (i; 4), coincide con (ì) — a) (d — e), ed e foiinato d'insiemi senza punti C(jmuni. 

 Prendend(.) dunque nella seiie (lo) un numeio / di tei'mini abbastanza grande si può ot- 

 tenere un insieme somma, che coincide con Ejj^j^., la cui misura sia pi'ossima tinche 

 si vuole a (b — a) [d — c). Nell'insieme Ej,^ j.^ si ha, per ogni // e k maggiori rispettiva- 

 mente di Jì, e ki : 



Il I: 



I /■ (.\-, \) — y, y Bu.n U„ {X) V, (v) < a. 



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Ciò posto indichiamo con 



-1- (<:.,- + - <o + <"= '.^ 



gl'insiemi, che, come dianzi è detto, si ottengono sostituendo a a le quantità ~ 

 (« = 1, 2,...., co), e determinianìo una successione crescente di numeri interi positivi 

 /■p r,,,...., r,i,...., tale che si abbia ; 



(b ~ a) {d - c) - /// (4"* , /,. ) ^ ^ (//=1, 1' , X) . 



Assegnato un \'alore // dell' indice // tale da avere _ ^ ^ ~, è ben chiaro che la 

 misura dell' insieme dei punti comuni a tutti gì' insiemi E^j^" j, (ìì = //\ // 1,..., co) dif- 

 ferisce da. (b — a) [d — c) per meno di t; e nei punti di un tale insieme, che indicheremo 

 con it„'. Selle -^/,, Bu.nUi, (x) Vi; {y) converge in egual grado alla / (a-, y) : infatti 



scelto un numero positivo s , arbitrariamente piccolo, se //" e un valore dell' indice il ab- 

 bastanza grande, perchè si abbia //" ^ //', £.2" " > a, per ogni coppia di valori di li e k 

 maggiori i ispetlivamenle di //,. „ki-^„ risulta: 



/(.r,.\') - y \ Bu,u U„ (.V) (V) 



il: 



in tutti i punti di E'jl'"' , ^, , che comprende E,,: 



' ' // / II" 



6. Riassumendo ora quanto abbiamo lin qui stabilito, p(,issiaino enunciare il seguente 

 teorema : 

 Sit/iio : 



(1) U„ ix) (//= 1, 2, . . . . , ^) 



(2) V, (y) (/.- = 1 , 2, . . . . , X ) 



