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e quindi le s^^^ (.r), ^2^^^ (x),..., ^„/'' (.r) restano comprese entro i limiti assegnati per 

 s .s„, dalle (3) tutte le volte che si ha: 



1 + 



M 



il medesimo si verifica allora, com'è evidente, per tutti i sistemi di funzioiìi : 



6) (.V) , .^,(«) (.v) .3',/«) (.r) («=1,2,..., OD). 



Detta // la minore delle due quantità n, — 1 "h|/— 1 ^ facile vedere che le (6), 

 al crescere di //, tendono in egual grado, nell'intervallo ( .v,j — //, .r„ -|- // ) , funzioni 

 limiti Z| (.v), Z2 (.v), Z,i,{x), che soddisfano alle equazioni date (1). Posto infatti: 



si ha : 



(7) I ?7,("' (a-) I ^ M 



e per ogni n h : 





Il 1 





in 



















1 







I f/,<") (.V) i M 



[n-Ys) ! 



-V— .\-„ 



; = 1,2,..., 

 /i = 1 , 2 co 



; = 1,2,..., m 



n = 1,2 oc 



donde segue senz' altro che le serie : 



(8) Z,{x) = s,^^-Y'^„U^"^{x] 



{/= 1, 2,..., ///) 



convergono in egual grad(j nell' intervallo {x^^ — //, Xq -j- Ji). Si ha allora che , per 



ogni /=rl,2, , /«, le /, (.V, (.v), ^2<"' (.r),..., .s-,,/") (.V)) , al crescere di //, tendono in 



egual grado , nell' intervallo (.v^ — x^ //), alle / (.v, Z, [x), Z^ (.v),..., Z„, (.v) ) e le 

 ^, (.r,v,.^/")f:v;,^,("Yv;,...,^„/"Yv^) tendono in egual grado alle ^, ( .r, v, Z/vj, Z, rvA---, Z,„(y)) 

 nel campo : 



I x ~ x„ \ -^h , I 3' — .r„ \ , 



onde risulta al limite : 



2. [x) = j ' /, ( x,Z, {x),...,Z,„ ix) ) dx -f di C (t,y,Z, iy),..., Z,„ ( v) ) dv + 



Z, {x) = r f, {x,Z, {x)....,Z,„ (X) ) dx + r di g., (l, V, Z, (v;,..., Z,„ (V) ) dv 4 .s,(«) 



Z,„ (X) = j /„, (x,Z, {x),...,Z,„ ix) ) dx + ■ dt ì g,„ V, Z, (V),..., Z„, (y) ) dy + 



