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Carlo Severini 



[Memoria XV.] 



e quindi: 



dx ■ 



{X, Z, ix),..., Z,„ (.r) ) + / (.r, y, Z, (3'),..., Z,„ (y) ) dy 



J x„ 



dZ,(xi 

 dx 



rX 



— f, {x,Z, (X),..., Z,„ [x) ) + ^2 {x,y, Z, (3'),..., Z„, (v) ) dy 



J x„ 



=fix, Z, {xì,..., Z,„ {xì + / g,„ {x,y, Z, (v) Z,„ (a-) ) dy 



• -'^'0 



cioè, come sopra abbiamo detto, le Z^ (.v), Z, (x),..., Z,„ (x) soddisfano al sistema proposto (1). 



3. E facile vedere che le Zi {x), Z.J.X-),...., Zyi (x) costituiscono l'unica soluzione delle 

 (1), formata di funzioni che per A" = assumono i valori iniziali s^^^K Se 



è possibile, ne esista infatti un'altra, e siano Z ^ {x), Z., (x),...., Z,n (x) le funzioni che la 

 compongono. Ammesso che in un intorno di .\\, si abbia : 



(9) 1 Z,- (.r) - Z, (.V) ] ^ £ {/= 1,2,..., m) , 



£ essendo una quantità positiva, insulta evidenleinente, a causa delle (4) e (5) : 



(10) I Z, (.V) - Z,- (.V) I ^ £ ( 2. /e, ] ( I .v-.r„ I + '-'7'"'' ] (/=l,2,...,m). 



1 



Come intorno del punto Xq, in cui si suppone verificata la (9), si consideri 1' intorno 



— , x„ ~T Y^r] , iV essendo una quantità positiva, che soddisfa alle condizioni: 



(11) [ , A'^ 1\. k,. 



1 



Dalla (10) segue allora, per tutti i punti di questo intorno: 



I Z,- (X) - Z, (.r) i ^ ^ (/= 1,2,..., ;;/) , 



e però le Z, (x) e Z, (x) devono rispettivamente coincidere in quell'intorno. Analogamente si di- 

 mostra ora che devono coincidere negli intervalli — 7^ , x^j — T^)» (-^"o ~f" > -^o ~l~ 377)' 

 ove N s' intende sempre scelto in modo da soddisfare alle (11), e così di seguito. 



