Sulle e qua B ioni fu usi oliali 



4. Consideriamo ora più generalmente il sistema di equazioni (1) senza ammettere 

 che siano soddisfatte le (4) e (5), ed i sistemi : 



' i^, (.V, ,3V (.V),...., .3„, (.V) ) -|- G, (-V, V, (vj,....,,e,„ (V) 



dx 1 



àlì'\x) ri(v), (V), , (V) r.V ^ (V) (V) (V) 



— Po (-V, ,S', (.V) ,,^,„ (.V) ) + ^ <?„ (.V, V, (V)v-v5',„ (V))^/3' 



(12) - 



dl,n^'\x) „ (v) (V) (V) , /-.v (V) (v) (V) 



— — ^P,,, {x,3, (.v) (a-)) -]-^^.^ (.V, 3', .S', (v),....,,s',„ {y))cly 



(v= 1, L' rx ) 



ove: 



(13) Pi {x,3,, s,,...,s,„), Q,: (x,y,3^,,e:,,...,Bj 



V — 1 , 2 , . . , oo 



sono polinomi razionali intei'i di .v, y, s^, , che soddisfano nel campo (3) alle con- 

 dizioni : 



/ ' = 1 , 2,..., W 



(14) 



\ V = 1 , 2,..., c» 



(v) \ > ' > 



I ^, (X, 3^ s„) — 0, (a-, V, I ^ cj, 



essendo : 



(15) a^, 0, , . . . , a,,, 



una successione infinita di numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero: ciò, come si sa, è 

 possibile in intìniti modi, per un noto teorema di Weierstrass (*). 



Siano : 



(16) z/''(.v), Z./'\.V),...,ZJ'^'U-) (v=rl,2,...'X) 



le soluzioni dei sistemi di equazioni (12), che per .v = assumono i valoii iniziali 

 ^1^*^) , ,5',^*^\...., ,3'„, Ciascuna di tali soluzioni esiste certamente per quanto è stato sopra 

 detto, nel rispettivo intervallo, (a^, — //,_,, A'^ , ove //,^ indica la minore delle due quan- 



tita a, — IH- / ; e tutte esistono, da un certo valore dell indice v in poi. 



r + a, ^ ' 



nell'intervallo ixo — lì -\- z, at^^-]- h -- z), z essendo una quantità positiva qualsivoglia, mi- 



I*) Cfr. ad es, BOREL ; Li'(oin sur ìes (oiicliuin de varitiìdt's i ndìes et ìes dcveìoppeuìCìiti l'ii icvies de polviiomes: 

 Paris, Gaulhier-VilUirs, 19O), 



