Carlo Severmi [Memoria XV.] 



nore di Possiamo intendere che Oi sia già abbastanza piccolo da avere h — s e 



considerare, nell'intervallo assegnato (x^ — ìi x^A^ h ~ z), tutte le (16). Queste ri- 

 sultano ivi egualmente continue , giacché il valoi'e assoluto delle loro derivate è sempre 

 minore di {M + a,) [ì h — e). (*) 



E facile vedere che sono egualmente continue anche le funzioni : 



(17) p/'^^ u-, z/^'' (.V), z.:'" (X) zj'^ ix)) ( I; " 



Infatti, essendo le ('2) assolutamente continue nel campo (3), si possono determinare 



/;/ -|- 1 quantità positive r/o, r/^, r/.,, tutte diverse da zero, tali che se (x, .e^ .e,,,), 



(.r', ^'Z, .e',,,) sono due punti di detto campo, pei quali si ha: 



I .V — x' I ^ a„ , I ^, — I ^ cii (i= 1 , 2,..., m) , . , 



lisulti : ■ ■ 



1 (x, s,,.3^ s„) — /, [x\ 2\,.3'., b',„) I ^ a (/= L, 2,..., m), 



o essendo una quantità positiva, arbitrariamente scelta. In corrispondenza si avrà, a causa 

 delle (14): 



I F^^ (x,s,,s,,...,.3j-Fr ix' I ^a + 2a. 



Z = 1,2,... Ili 

 V = 1,2, .,, ca 



e, poiché tende a zero al crescei'e di v, si vede facilmente, che è possibile determinare 

 c/„, (!],...., a,„ in modo da avere : 



* , ■,>(''), \ !>''•'),'' ' '.1^1 / i— 1,2,.. ..Ili \ 



(18) I P, {X,3,,3,,.,.,S,n)— 1*1 (X, 2 S.„)\^O^X , 



\ v=I,2....,co / 



T essendo ancora un numero positivo, comunque scelto. D'altra parte, per la eguale con- 

 tinuità delle (16) può la quantità essere scelta in modo che, olti'e ad essere soddisfatte 

 le precedenti disuguaglianze (18), si abbia anche : 



I Z, (.V) — Z, (.V ) I ^ r/,• 

 \ V = I, 2,..., oo 



tutte le volte che .v ed .v' sono due punti di ix^ — h -\- z, x^ -\- ìi — s), che fra loro di- 

 stano per meno di r/o. .Si ottiene allora che in ogni tratto di (.r„ — // -|- s, .v„ -j- — di 

 ampiezza minore di rt,-, le funzioni (17) oscillano per meno di a -j- x, e ciò dimostra quanto 

 abbiamo sopra asserito. 



In modo analogo si prova che sono egualmente continue nel campo : 



(19) I X - X, \-^a, \y - x^ \^h — z 



(*) Cfr. A.RZELA : Sulle funiioni di linee, ^Memorie della R. Acc. delle Se. di Bologna, 1894. 



