Stille equazioni ftiìisionidi 



Ne ricaviamo : 



/, (x, u, (X), ?/, (.V) ?/„, tv] ) - Py^^ (.V, Z^'^ (.v), Z/'^' (.r) Z„/'-^^ (.v) ) | ^ a + r 

 {x,y,u,(y), u, iy) (y) ) - Q'^'^^ (.v.3',Z,"''' ( v), Z.^^^ ( v) Z„/''^* (v) ) | ^ a + t 



/ = I , 2 , . . . , «/ 

 V — v', v' -1- I , . . . , X' / ' 



e quindi : 



I A (.r, (x), il., (.v),..., //„, (.v)) H-/ (.V, V, ?/, (3'), iy),..., ii,,, iy) ) «'.v — 



(/ = I , 2,..., m 

 V = v', v' -|- I , . . . ,00 I • 

 I .r-.v„ 1 </,- 



Ma le successioni (24) tendenti , come si è detto , in ei^ual grado alle (25) , coinci- 

 dono (§ 4) colle altre : 



p/'^^ (.r, Z^^ (x\Z.y {x)....,Z,}'"^ ix) ) 4- r Q, {X, v, z/''^' ( v), z/''^^ ( v) Z„/'^Yv) ) 



.',v„ 



! ~ I, 2,..., II! 

 ^ = I , 2 , . . . , °o 



Deve duncjue essere : 

 '!!!lScn=f^ ir, Ix), u, (x),...,n,„ {x)) + j\ g ,(x,y, i/ ,(y), tijy),..., /i,Jy)) dy 



^JliS^ = /: {X, H, ix), u, (.r),..., ?/,„ (.V) ) + r g. {X, V, ii.iy), //. (y),...,u,„ ( v) )4v 



d.v ■ X,, 



dìi,ii(.i) 

 dx 



-f,„ {x, (.v), u.. {x),...,i/,„ ix) ) + / g,„ (x,y, II, iy), u„ ( v),..-, iy 



.1 Xn 



))dy. 



Concludiamo che al sistema (1) soddisfano , nelle ipolesi del prec. §, m fun- 

 zioni Ui (x) (l = 2,...,m), comunque scelte fra le funzioni limiti delle rispettive suc- 

 cessioni (21), che sono formate colle soluzioni delle equazioni (12), corrispondenti 

 allo stesso sistema di valori iniziali z["' (1:=2,..., m) per x = xo . 



6. Il procedimento svolt(j nel prec. § , col ciuale abbiamo stabilito 1' esistenza di /;/ 

 funzioni Uj (x) {i= ì ,2,..., m) , soddisfacenti al sistema proposto (1) e coi rispondenti ai 

 dati valori iniziali ,3"',°' (/= 1 , 2,..., ;//) per .\' = .v„, nella sola ipotesi che le (2) fossero as- 

 solutamente continue, è del pari intei'essante se si ammette che siano soddisfatte le (4) e 

 (5) , nel qual caso esiste per le (1) (§ 3) un unico sistema di soluzioni Z, (.v) (/=1,2,..., ;;/) 



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