10 Carlo Severini [Memoria XV.] 



che pei- .v = .\'u rispettivamente assumono i valori iniziali {i= 1,2,... ,tn). Fissato allora 

 comunque un intervallo — x,^-\-// — s) , interno ad (.r„ — h, x\-\- Ji) , se v' è un 

 valore dell'indice v tale che per v > v' si abbia h^^'^li — s, lisulta , in ogni punto di 

 (Xo — + 2 , -v,-f // — £) : 



(26) Z, [X) = Z/'^ ^ Ix) 4- i:v 2/'^+' ' (X) - Zr {X 



e le serie (26) convergono in egual grado. 



Le Z\''' (.v) possono a loro volta, per ogni valore fisso di v, venire rappresentate, nel 

 rispettivo intervallo (a'„ — /z,^, .r^-j-/?^), con qualsivoglia approssimazione, per mezzo di 

 polinomi razionali interi, come subito si vede applicando ai sistemi (12) il metodo delle 

 approssimazioni successive (§ 2). Se quindi si costruiscono i polinomi razionali interi 



(.v) in modo che si abbia : 



I — I , 2 Ili 



zr ix) — or (X) i ^ 0,^ V = 1, 2 oc 



si avrà in ogni punto di (.v,j — h , .v,, -j- h) : 



Z 



,{x}=g!'^ (.v) + 2. [g,^"+'\x) - G/"hxi 



{/= 1,2,..., w), 



e le serie precedenti convergeranno ancora in egual grado in ogni intervallo interno ad 

 (Xu — /ì , Xo + 



7. I risultati a cui siamo giunti nei precedenti §§, si applicano evidentemente al caso 

 di una sola equazione del tipo : 



*(^7 j =/(.r, ix), cp' (-V),. . ., """" '-V) ) + f] /\ ix, V, cp (V), (V) ) 'Ò' , 



che equivale al sistema : 



-/-fi (-V) 



92 (•^') 



d'iu,-i (.V) _ 

 d.x 



f{x, cp ix), cp^ (.v),...,cp,„_. (.V) ) -f 1'^ f, (X, v,'f iy), cpi {y),...,(f,„-i{y))dv. 



8. 11 metodo dianzi svolto per le equazioni (1) si presta altresì con vantaggio nello 

 studio dell'equazione non lineare di seconda specie di Volterra : 



IH) 9 (X) H- r / (X, y, ^iv)) dy = F{x), (" 



(*) Cfr. T. LALESCO : .Su?- l'eqiiaUon de Volterra ; Journal de Mathématiques pures et appliquées, S. VI, 

 S. VI (1908) p. 165. 



