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Carlo Seve ri ìli 



[Memoria XV. J 



La serie : 



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c(jnverge pertanto in egual modo nell' intervallo (.v,, — , x„ + //',^), e vi rappresenta una 

 funzione ^,^(.v), clie evidentemente soddisfa all'equazione (32). La (.r) è inoltre l'unica 

 soluzione di questa equazione , come si può facilmente vedere con ragionamento analogo 

 a quello del § 3. 



Ciò posto indichiamo con ìi la massima quantità positiva, minore od uguale ad a, 

 per cui l'isulta in ogni punto di (.Vq — //', ~\\^ìi): 



I F (X) - F (.vj \-^M\x - x,\^b 



o, se si vuole, la più piccola delle tie quantità d, n' , , essendo {x^ — a, X(,-\-(i) il 

 massimo int'ìrno di .v^ , avente .v,, come punto medio, in cui si ha ; 



1 F(x) - F(v,) I ^ : 



in questo caso s' intenderà in corrispondenza che rappresenti la minore delle ti'e quan- 

 tità ti, a',, , :. È evidente allora che, al crescere di v la quantità /i' tende ad h, 



2 ( J/ -i- 0,^ ; ' 



per modo che essendo £ una quantità positiva, aibitrariamente piccola, si può trovare un 

 valore v' di v, abbastanza grande, perchè l'intervallo (.v„ — //',^, Xf^-]-/i\^) comprenda l'in- 

 tervallo {Xq — //'-f-£, x„-\~h — £), tutte le volte che v ^ v'. 



Nell'intervallo (.v„ — x„-\-ìi' — s) si considerino allora le: 



(33) (V = v', v' + 1,..., ce). 



E facile vedere che tali funzioni sono ivi egualmente continue. Si ha infatti, detti x 

 ed x' due punti di (.v„ — .v,j-)-//' — s) : 



J A',, L J . .V 



e, poiché egualmente continue sono, come è evidente, le (Xjj', .0), i^^(.r) (v= 1, 2,..., oo), 

 risulta senz'altro pi'ovato quanto abbiamo dianzi asserito. Le (33) ammettono pertanto nel 

 l'intervallo (a"u — /;'-)-£, a*j -j- // — s), una più funzioni limiti continue, ciascuna delle 

 quali soddisfa all'equazione (28), come si può vedere con ragionamento analogo a quello 

 del ^ 5. 



Se sulla /(x, y, ^) si fa in più l'ipotesi che, qualunque siano due punti {x,y,s), 

 (.V, V, b') del campo (29), si abbia : 



(34) I / (.r, V, .-) -f{x, y,B')\^H\s-B'\, 



essendo una costante positiva, tinita, l'equazione (28) ammette un'unica soluzione, per 

 la quale si può, analogamente a quanto è stato fatto nel § 6, costruire una sei'ie di po- 



